반복측정 분산분석 (repeated measures ANOVA)

📌 반복측정 분산분석 (repeated measures ANOVA)

• 동일한 대상에 대해 여러 번 반복측정하여 반복측정 집단 간에 차이가 존재하는지 검정
• 일반적 형태의 분산분석은 다른 집단에 속한 대상들 간의 집단 간 차이를 검정하는 반면에 반복측정 분산분석은 동일한 대상에 대한 검정이다.

CO2
식물이 저온 성장환경에서 견디는 정도

• Quebec 지역 나무와 Mississippi 지역 나무 간의 이산화탄소 흡수율에 따라 차이가 있는지 검정
• 7개의 서로 다른 이산화탄소 농도에 따라 흡수율에 차이가 있는지 검정
• 나무 출신 지역과 이산화탄소 읍수율의 관계가 농도에 따라 달라지는지 검정

• uptake (종속변수) : 이산화탄소 흡수율
• Type (독립변수), conc (독립변수) : 나무의 출신 지역, 이산화탄소 농도
• Type (집단 간 요인)
• conc (집단 내 요인) => 반복적으로 측정된 값
• Treatment : 저온처리 여부
• Plant : 나무의 고유 식별

>str(CO2)
Classes ‘nfnGroupedData’, ‘nfGroupedData’, ‘groupedData’ and 'data.frame':	84 obs. of  5 variables:
 $ Plant    : Ord.factor w/ 12 levels "Qn1"<"Qn2"<"Qn3"<..: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ...
 $ Type     : Factor w/ 2 levels "Quebec","Mississippi": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
 $ Treatment: Factor w/ 2 levels "nonchilled","chilled": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
 $ conc     : num  95 175 250 350 500 675 1000 95 175 250 ...
 $ uptake   : num  16 30.4 34.8 37.2 35.3 39.2 39.7 13.6 27.3 37.1 ...
 - attr(*, "formula")=Class 'formula'  language uptake ~ conc | Plant
  .. ..- attr(*, ".Environment")=<environment: R_EmptyEnv> 
 - attr(*, "outer")=Class 'formula'  language ~Treatment * Type
  .. ..- attr(*, ".Environment")=<environment: R_EmptyEnv> 
 - attr(*, "labels")=List of 2
  ..$ x: chr "Ambient carbon dioxide concentration"
  ..$ y: chr "CO2 uptake rate"
 - attr(*, "units")=List of 2
  ..$ x: chr "(uL/L)"
  ..$ y: chr "(umol/m^2 s)"

> CO2sub <- subset(CO2, Treatment == "chilled")
> CO2sub$conc <- factor(CO2sub$conc)

> str(CO2sub)
Classes ‘nfnGroupedData’, ‘nfGroupedData’, ‘groupedData’ and 'data.frame':	42 obs. of  5 variables:
 $ Plant    : Ord.factor w/ 12 levels "Qn1"<"Qn2"<"Qn3"<..: 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 ...
 $ Type     : Factor w/ 2 levels "Quebec","Mississippi": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
 $ Treatment: Factor w/ 2 levels "nonchilled","chilled": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
 $ conc     : Factor w/ 7 levels "95","175","250",..: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 ...
 $ uptake   : num  14.2 24.1 30.3 34.6 32.5 35.4 38.7 9.3 27.3 35 ..
 
> CO2sub
   Plant        Type Treatment conc uptake
22   Qc1      Quebec   chilled   95   14.2
23   Qc1      Quebec   chilled  175   24.1
24   Qc1      Quebec   chilled  250   30.3
25   Qc1      Quebec   chilled  350   34.6
26   Qc1      Quebec   chilled  500   32.5
27   Qc1      Quebec   chilled  675   35.4
28   Qc1      Quebec   chilled 1000   38.7
29   Qc2      Quebec   chilled   95    9.3
30   Qc2      Quebec   chilled  175   27.3
31   Qc2      Quebec   chilled  250   35.0
32   Qc2      Quebec   chilled  350   38.8
33   Qc2      Quebec   chilled  500   38.6
34   Qc2      Quebec   chilled  675   37.5
35   Qc2      Quebec   chilled 1000   42.4
36   Qc3      Quebec   chilled   95   15.1
37   Qc3      Quebec   chilled  175   21.0
38   Qc3      Quebec   chilled  250   38.1
39   Qc3      Quebec   chilled  350   34.0
40   Qc3      Quebec   chilled  500   38.9
41   Qc3      Quebec   chilled  675   39.6
42   Qc3      Quebec   chilled 1000   41.4
64   Mc1 Mississippi   chilled   95   10.5
65   Mc1 Mississippi   chilled  175   14.9
66   Mc1 Mississippi   chilled  250   18.1
67   Mc1 Mississippi   chilled  350   18.9
68   Mc1 Mississippi   chilled  500   19.5
69   Mc1 Mississippi   chilled  675   22.2
70   Mc1 Mississippi   chilled 1000   21.9
71   Mc2 Mississippi   chilled   95    7.7
72   Mc2 Mississippi   chilled  175   11.4
73   Mc2 Mississippi   chilled  250   12.3
74   Mc2 Mississippi   chilled  350   13.0
75   Mc2 Mississippi   chilled  500   12.5
76   Mc2 Mississippi   chilled  675   13.7
77   Mc2 Mississippi   chilled 1000   14.4
78   Mc3 Mississippi   chilled   95   10.6
79   Mc3 Mississippi   chilled  175   18.0
80   Mc3 Mississippi   chilled  250   17.9
81   Mc3 Mississippi   chilled  350   17.9
82   Mc3 Mississippi   chilled  500   17.9
83   Mc3 Mississippi   chilled  675   18.9
84   Mc3 Mississippi   chilled 1000   19.9

📌 반복측정 분산분석

• 반복측정 일원분산분석 : y ~ W + Error(Subject/W)
• 반복측정 이원분산분석 : y ~ B * W + Error(Subject/W)

B는 집단 간 요인, W는 집단 내 요인을 의미하고,
Subject는 각 층정 대상에 대한 식별자 변수를 의미한다.

> CO2sub.aov <- aov(uptake ~ Type * conc + Error(Plant/conc), data=CO2sub)
> summary(CO2sub.aov)

Error: Plant
          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
Type       1 2667.2  2667.2   60.41 0.00148 **
Residuals  4  176.6    44.1                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Error: Plant:conc
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
conc       6 1472.4  245.40   52.52 1.26e-12 ***
Type:conc  6  428.8   71.47   15.30 3.75e-07 ***
Residuals 24  112.1    4.67                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Type 변수의 p-value가 유의하다. 귀무가설을 기각한다.
나무의 출신지역에 따라 이산화탄소의 흡수율이 다르다.

conc 변수의 p-value가 유의하다. 귀무가설을 기각한다.
이산화탄소 농소에 따라 이산화탄소의 흡수율이 다르다.

상호작용효과 Type:conc의 p-value가 유의하다. 귀무가설을 기각한다.나무 출신 지역과 이산화탄소 농도의 상호작용 효과가 존재한다.

> windows(width=12, height=8)
> boxplot(uptake ~ Type * conc, data=CO2sub,
+         col=c("deepskyblue", "violet"))

Quebec 나무에 대해서만 축이 나타나고 Mississippi에 대해서는 나타나지 않았다. 그래프를 좀 더 보기 좋게 다듬어 보자.

> boxplot(uptake ~ Type * conc, data=CO2sub,
+         col=c("deepskyblue", "violet"),
+         las=2, cex.axis=0.7,
+         xlab="", ylab="Carbon dioxide wptake rate",
+         main="Effects of Plant Type and CO2 on Carbon Dioxide uptake")

> legend("topleft", inset=0.02,
+        legend=c("Quebec", "Mississippi"),
+        fill=c("deepskyblue", "violet")

Quebec 나무가 Mississippi 나무보다 이산화탄소 흡수율이 높다.
이산화탄소 농도가 증가함에 따라 이산화탄소 흡수율도 증가한다.

> library(HH)
> interaction2wt(uptake ~ Type * conc, data=CO2sub)

• 대각선 주효과
• 비대각선 상호작용효과

보다 신뢰할 만한 분석 결과를 얻기 위해서는 비록 동일한 대상에 대해 시점을 달리하여 반복적으로 측정된 데이터이긴 하지만, 모든 반복 차수 간의 관련성의 정도는 일정해야 한다.

구형성검정(sphericity test)을 통해 측정값 간 차이의 분산/공분산이 동일하다는 귀무가설을 검정할 수 있다.