Primitive root

높 고 큰 수론 은 먼저 입문 한 후에 다시 이야기 하 자.
원근 의 정 의 는 위 키 에서 찾 을 수 있 습 니 다. 위 에서 명확 하 게 소개 되 었 습 니 다.
만약 당신 이 뜨 거 운 (bu) 사랑 (dong) 조상 (ying) 나라 (yu) 사람 이 라면, 이 블 로 그 를 보면 됩 니 다.
1、51nod 1135
이상 한 oj, 링크 넣 어 주세요.
기수 n 의 가장 작은 원근 을 구하 다.
2 ~ n - 1 매 거 x 에서 x 가 x ^ j mod n 에 만족 하 는 지 판단 합 니 다! =1    j=2,3,4,...,phi(n)-1
폭력 판단 회 T, 빠 른 알고리즘 이 필요 합 니 다.
위 키 가 방법 을 소개 했다.
설정 phi (n) = p1 ^ k1 * p2 ^ k2... pm ^ km
그러면 x 는 n 의 원 근 충전 조건 이다.
x^(phi(n)/pj) mod n != 1  j = 1,2,3...m
증명:
j 가 존재 하면 x ^ (phi (n) / pj) mod n = 1, 말 할 필요 도 없 이 x 는 원래 뿌리 가 아 닙 니 다.
j 만족 조건 이 존재 하지 않 는 다 면 t 만족 x ^ t mod n = 1
그러면 x ^ (phi (n) - t) mod n = 1
반전 제거 알고리즘 에서 x ^ gcd (phi (n), t) mod n = 1 을 알 수 있 습 니 다.
d = gcd (phi (n), t), 즉 x ^ d mod n = 1
d | phi (n) 때문에 최소한 하나의 j 가 d | phi (n) / pj 를 만족 시 키 므 로 i 로 설정 하 십시오.
그래서 x ^ (phi (n) / pj) mod n = 1, 가설 과 모순, 입증
원래 문제 로 돌아 갑 니 다. n 은 소수 이기 때문에 phi (n) = n - 1, n - 1 을 분해 한 후 각 pj 를 검사 하면 됩 니 다.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
int prime[100000];
bool check[100000];
int P,i,cnt,tot,p[1000];

void init(){
  for (int i=2;i<100000;i++){
  	if (!check[i]) prime[++tot]=i;
  	for (int j=1;j<=tot;j++){
  	  if (i*prime[j]>=100000) break;
  	  check[i*prime[j]]=true;
  	  if (i%prime[j]==0) break;
  	}
  }
}

int qck(int a,int b){
  int ret = 1;
  for (;b>0;b>>=1){
    if (b&1) ret=(long long)ret*a%P;
    a = (long long)a*a%P;
  }
  return ret;
}

bool Judge(int x){
  for (int i=1;i<=cnt;i++)
  if (qck(x,(P-1)/p[i])==1)
    return 0;
  return 1;
}

void Analyze(int x){
  cnt = 0;
  for (int i=1;i<tot;i++)
  if (x%prime[i]==0)
  	p[++cnt] = prime[i];
}

int main(){
  //freopen("1135.in","r",stdin);
  //freopen("1135.out","w",stdout);
  init();
  while (~scanf("%d",&P)){
  	Analyze(P-1); 
    for (i=2;i<P;i++)
	  if (Judge(i)) break;
	printf("%d
",i);
  }
  return 0;
}

2、poj1284 primitive roots
원소 수의 원근 수량 을 구하 다.
위 키 에 서 는 n 이 원 근 이 있다 면 n 의 원 근 수 는 phi (n) 라 는 정 리 를 주 었 다.
n. 원래 뿌리 가 있 는 충전 조건 은 n 이 다음 과 같은 형식 으로 쓸 수 있 는 것 입 니 다. 2, 4, p ^ k, 2 * p ^ k  그 중 p 는 기수 이다

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
int n,tot;
int prime[100000];
int phi[100000];
bool check[100000];

void init(){
  phi[1] = 1;
  for (int i=2;i<100000;i++){
  	if (check[i]==0){
  	  prime[++tot] = i;
  	  phi[i] = i-1;
  	}
  	for (int j=1;j<=tot;j++){
  	  if (i*prime[j]>=100000) break;
  	  check[i*prime[j]]=1;
  	  if (i%prime[j]==0){
  	    phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];
  	    break;
  	  } else
  	    phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);
  	}
  }
}

int main(){
  freopen("poj1284.in","r",stdin);
  freopen("poj1284.out","w",stdout);
  init();
  while (~scanf("%d",&n))
    printf("%d
",phi[n-1]);
  return 0;
}