인공위성의 식사 시간(회전위성의 경우)

개시하다
인공위성은 태양광으로 발전해 각종 임무를 수행한다. 인공위성을 운용할 때 기체가 지구의 그림자 속에 숨겨진 음식물(지구식)을 만들어 낼 수 있기 때문에 다음과 같은 사항에 주의해야 한다.
- 태양광으로 발전할 수 없기 때문에 배터리로 전기를 공급해야 한다
- 섀도우 영역에서 온도가 급격히 떨어지므로 장비별 히터를 미리 부팅해야 함
나는 여기서 유니버설 위성의 식사 시간을 찾고 싶다.
음식이 발생하지 않는 상황
위성 고도 $H$, 궤도 경사각 $\gamma달러의 원형 궤도 위성이 지구 반경 $R$R을 감안하면

이 위성은 다음과 같은 조건을 가지고 있다
$$
\begin{align}
(R+H)\sin{\gamma}&>R\\
\rightarrow R+H &>\frac{R}{\sin{\gamma}}
\end{align}
$$
지구를 만족시킬 때 위성은 지구의 그림자에 들어가지 않고 먹이가 발생하지 않는다.
음식이 발생할 때
다른 한편,
$$
\begin{align}
(R+H)\sin{\gamma}&\rightarrow R+H &<\frac{R}{\sin{\gamma}}
\end{align}
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
$$
x=(R+H)\cos{\theta},~~y=(R+H)\sin{\theta}\tag{1}
$$
또한 위성은 음영 구역을 비스듬히 통과하기 때문에 아래 그림에서 보듯이 음영의 단면은 타원형이고 음영의 원통은 원환 궤도에 의해 절단된 타원 방정식은 파라미터 $t$$$$t를 사용하여 다음과 같이 표시한다.
$$
x=\frac{R}{\sin{\gamma}}{\cos{t}},~~y=R\sin{t}\tag{2}
$$
방정식(1)과 (2)의 좌표가 같으면 $\theta를 계산해 보십시오.
$$
\begin{cases}
(R+H)\cos{\theta}&=\cfrac{R}{\sin{\gamma}}{\cos{t}}\\
(R+H)\sin{\theta}&=R\sin{t}
\end{cases}
$$
중도식 생략, $t의 변형을 없애려면
$$
\cos{\theta}=\frac{\sqrt{2RH+H^2}}{\cos{\gamma}(R+H)}\tag{3}
$$
얻을 수 있다.

계산 예
궤도 높이 $h=1000~\rm{km} 달러의 원형 궤도 위성의 식사 시간. 위의 그림에서 $\gamma=0$이면 그림자의 모양이 직사각형이다. 이를 이용하여 그늘로 들어가는 각도를 간단하게 계산할 수 있다. $2\theta$. 재식(3)에서 $\gamma=0$,
$$
\begin{align}
\cos{\theta}&=\frac{\sqrt{2RH+H^2}}{\cos{\gamma}(R+H)}=\frac{\sqrt{2\times 6378\times 1000+1000^2}}{(6378+1000)}\simeq 0.5027\\
\therefore~\arccos{\theta}&=59.8^\circ
\end{align}
$$
여기서 위성의 일주일 시간(주기)$T$T는
$$
\begin{cases}
v=\sqrt{\cfrac{MG}{R+H}}\\
T=\cfrac{2\pi}{v}(R+H)
\end{cases}
$$
이용하다
$$
T=2\pi\sqrt{\frac{R+H}{MG}}(R+H)\simeq 105~\rm{min}
$$
로 표현할 수 있다.
이상부터 식사시간$T아래와 같이 계산할 수 있다.
$$
T_s=\frac{2\theta}{360}\times T=\frac{2\times 59.8^\circ}{360}\simeq35~\rm{min}
$$
참고 자료
*1: 위성 속도, 주기의 계산 방법은 다음과 같다.
https://qiita.com/epppJones/items/73fe11025b29d990ce1e
목전, 소송, 천구, 인공위성과 우주탐사기, 일관, 2011.