백준 1003번

피보나치 함수

문제

다음 소스는 N번째 피보나치 수를 구하는 C++ 함수이다.

int fibonacci(int n) {
    if (n == 0) {
        printf("0");
        return 0;
    } else if (n == 1) {
        printf("1");
        return 1;
    } else {
        return fibonacci(n‐1) + fibonacci(n‐2);
    }
}

fibonacci(3)을 호출하면 다음과 같은 일이 일어난다.

fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1) (첫 번째 호출)을 호출한다.
fibonacci(2)는 fibonacci(1) (두 번째 호출)과 fibonacci(0)을 호출한다.
두 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고 1을 리턴한다.
fibonacci(0)은 0을 출력하고, 0을 리턴한다.
fibonacci(2)는 fibonacci(1)과 fibonacci(0)의 결과를 얻고, 1을 리턴한다.
첫 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고, 1을 리턴한다.
fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1)의 결과를 얻고, 2를 리턴한다.
1은 2번 출력되고, 0은 1번 출력된다. N이 주어졌을 때, fibonacci(N)을 호출했을 때, 0과 1이 각각 몇 번 출력되는지 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.

각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, N이 주어진다. N은 40보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

각 테스트 케이스마다 0이 출력되는 횟수와 1이 출력되는 횟수를 공백으로 구분해서 출력한다.

예제

코드

import java.io.*;

public class Main {
	static Integer[][] dp = new Integer[41][2];
			
	public static void main(String[] args) throws IOException{
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		int T = Integer.parseInt(br.readLine());
		StringBuilder sb = new StringBuilder();
		
		dp[0][0] = 1;
		dp[0][1] = 0;
		dp[1][0] = 0;
		dp[1][1] = 1;
		
		while(T --> 0) {
			int N = Integer.parseInt(br.readLine());
			fibonacci(N);
			sb.append(dp[N][0] + " " + dp[N][1]).append('\n');
		}
		
		br.close();
		System.out.println(sb);
	}
	
	static Integer[] fibonacci(int N) {
		if(dp[N][0] == null || dp[N][1] == null) {
			dp[N][0] = fibonacci(N - 1)[0] + fibonacci(N - 2)[0];
			dp[N][1] = fibonacci(N - 1)[1] + fibonacci(N - 2)[1];
		}
		
		return dp[N];
	}
}

풀이

이번 문제는 dp(Dynamic Programming)를 활용한 재귀 방식을 활용한다.

일반 재귀 vs dp 재귀

• 사실 일반적인 재귀(Naive Recursion) 방식 또한 DP와 매우 유사하다. 큰 차이점은 일반적인 재귀를 단순히 사용 시 동일한 작은 문제들이 여러 번 반복 되어 비효율적인 계산될 수 있다는 것이다.

• DP가 적용되기 위해서는 2가지 조건을 만족해야 한다.

1) Overlapping Subproblems(겹치는 부분 문제)

• DP는 기본적으로 문제를 나누고 그 문제의 결과 값을 재활용해서 전체 답을 구한다. 그래서 동일한 작은 문제들이 반복하여 나타나는 경우에 사용이 가능하다.

• 부분 문제가 반복적으로 나타나지 않는다면 재사용이 불가능하니 부분 문제가 중복되지 않는 경우에는 사용할 수 없다.

2) Optimal Substructure(최적 부분 구조)

• 부분 문제의 최적 결과 값을 사용해 전체 문제의 최적 결과를 낼 수 있는 경우

DP는 특정한 경우에 사용하는 알고리즘이 아니라 하나의 방법론이므로 다양한 문제해결에 쓰일 수 있다.

1) DP로 풀 수 있는 문제인지 확인한다.
2) 문제의 변수 파악
3) 변수 간 관계식 만들기(점화식)
4) 메모하기(memoization or tabulation)
5) 기저 상태 파악하기
6) 구현하기

출처 : https://hongjw1938.tistory.com/47

fibonacci 수열의 특성상, N이 0일 때는 0이 한번 호출되고 1이 호출되지 않고, 1일 때는 0이 호출되지 않고 1이 한번 호출된다. 이 두가지는 스페셜 케이스로, 처음에 초기화를 해줘서 일반적인 케이스와 차별점을 둔다.

fibonacci 함수에서는, 우선 스페셜 케이스 일때는 이 함수가 작동되면 안되므로 if 문을 활용하여 그 경우를 제외 시킨다. 이는, 탐색하지 않은 수라는 뜻이다.(이 때 null 테스트는 래퍼 클래스인 Integer을 사용했기 때문에 가능하다.)

N=2 일 때, Fibonacci(2) = Fibonacci(1) + Fibonacci(0) 이므로 0과 1은 각각 1번씩 호출된다.

N=3 일때는 Fibonacci(3) = Fibonacci(2) + Fibonacci(1) 이고 이는 다시

Fibonacci(3) = (Fibonacci(1) + FibonaccI(0)) + Fibonacci(1) 이므로 0은 1번, 1은 2번 호출된다.

이런식으로 N이 어떤 수가 와도 모두 대응할 수 있는 알고리즘을 짤 수 있다.

만약 처음에 N=20 이 입력되어 20에 대해 0과 1 호출횟수를 구한다면 Fibonacci(19) 에 대해서도 자연스럽게 구해질 것이고, Fibonacci(18), Fibonacci(17), ⋯ 해서 N 이하의 모든 수들은 자연스럽게 0과 1을 찾기위해 하위단계로 재귀호출될 것이다.

즉, N=20 에 대해 구한다음에 만약 N=15 같이 이하의 수가 입력된다면 또 다시 재귀호출 할 필요 없이 이미 연산과정에서 한 번 탐색이 이루어졌으므로 바로 해당 값을 꺼내면 된다.

이 과정을 DP로 풀어내면 된다는 의미다. 즉, 한 번 탐색할 때마다 해당 N의 0과 1의 값을 저장해두고, 이후 다음 탐색에서 이미 탐색했던 노드일 경우 해당 배열값을 쓰면 된다.