루베그 적분 입문 4 가측 함수의 성질 1

루베그 적분 3의 계속
좀 더, 측도를 정의한다. 측도를 정의한 후 마침내 루베그 적분을 정의 할 수 있습니다.

이하 이 기사에서는, X를 $\mathcal{B}$를 σ대수로 하는 가측 공간으로 한다.

X의 임의의 부분 집합 E에 대해, 특성 함수라고 불리는 다음과 같은 함수가 있다.

1_{E}(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x \in E) \\
0 & (x \in X\setminus E)
\end{array}
\right.

명제 4.1 $1_E$가 가측 함수일 때, 그 때만 $E$는 가측 집합이다.

증명 정의를 확인함으로써 증명합시다.
임의로 실수 $\alpha$를 취해, $\alpha$의 대소에 대해서 경우 나누기를 해 생각과,
$\alpha<0$일 때 $\{x\in X|1_E(x)\gt\alpha\}=X$, $0\leq\alpha <1$일 때 $\{x\in X | 1_E( x)\gt\alpha\}=E$, $\alpha\geq 1$일 때 $\{x\in X|1_E(x)\gt\alpha\}=\emptyset$
모든 경우에 대해 $ 1_E $가 가측 함수 일 때 $ E $는 가측 집합이며 그 반대도 확인됩니다.

증명 끝



명제 4.2
$f:X\rightarrow\overline{\mathbb{R}}$를 가측 함수로 한다. 임의의 a 배 $ af $, $ f ^ 2 $는 가측 함수입니다.
여기서, a배, 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의하고 있다.
(af)(x):=af(x)
(fg)(x):=f(x)g(x)

증명
우선, $af$가 가측 함수인 것을 나타내자.
a = 0이면 af는 항등 0입니다. 이것은 $\emptyset$의 특성 함수이므로, 명제 4.1보다 가측 함수이다.
a>0 일 때, $\{x\in X| af(x)\gt\alpha\}=\{x\in X| f(x)\gt\alpha/a\}$이다. 또한 f는 가측 함수이므로 $\{x\in X| f(x)\gt\alpha/a\}$는 가측 집합이므로 $\{x\in X| af(x)\gt\alpha\}$는 가측 집합임을 나타내며 af는 가측 함수임을 알 수 있다.
a<0일 때 $\{x\in X| af(x)\gt\alpha\}=\{x\in X| f(x)\lt\alpha/a\}$ 기사의 명제 3.2를 사용하면 좋다. $af$가 가측 함수인 것으로 나타났다.

다음에, $f^2$는 가측 함수인 것을 확인한다.
$\alpha$를 임의의 실수로 한다. $\alpha\lt 0$라면 제곱하면 항상 0이상이므로 $\{x\in X| f^2(x)\gt\alpha\}=X$이므로 가측이다.
$\alpha\geq0$일 때 $\{x\in X| f^2(x)\gt\alpha\}=\{x\in X| f(x)\gt\sqrt\alpha\}\cup\{x\in X| f(x)\lt -\sqrt\alpha\}$이며, 앞에 제시한 명제 3.2를 사용하면 각각 가측이므로 합을 취한 것도 가측이다. 따라서 가측 함수임이 나타났다.
증명 끝

계속