개요

2차 시스템의 자유 진동, 과감쇠의 응답을 계산한다.

이차 시스템

G(s) = A \frac{w_n^2}{s^2 +2 \zeta wn s+w_n^2} 

2차 시스템입니다.
단계를 입력하면 결국 $A로 모입니다.

\frac{Y(s)}{U(s)} = A \frac{w_n^2}{s^2 +2 \zeta w_n s+w_n^2} \\
\therefore (s^2 +2 \zeta w_n s+w_n^2)Y(s) = A w_n^2 U(s)\\
\therefore y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) = A w_n^2 u(t)\\

반드시 만족할 것이다.

자유 진동

u=0에서 초기 값이 0이 아닐 때의 응답을 계산합니다.

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) = 0\\

채우기

y(t) =  Be^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi)

솔루션입니다. $B,\phi달러는 임의의 상수입니다.

확인

y'(t) =  Be^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) (-\zeta w_n)\\
+  Be^{-\zeta w_n}cos(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) \sqrt{1-\zeta^2}w_n

y''(t) =  Be^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) (-\zeta w_n)^2\\
-  Be^{-\zeta w_n}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) (1-\zeta^2)w_n^2\\

+ Be^{-\zeta w_n t}cos(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) (-\zeta w_n)\sqrt{1-\zeta^2}w_n\\
+ Be^{-\zeta w_n}cos(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) (-\zeta w_n)\sqrt{1-\zeta^2}w_n\\

= Be^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) 
\{\zeta^2 w_n^2 - (1-\zeta^2)w_n^2

\}
+\\
 Be^{-\zeta w_n t}cos(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) 
\{
2(-\zeta w_n)\sqrt{1-\zeta^2}w_n
\}

미분 방정식 대입

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) \\
=
 Be^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) 
\{ \zeta^2 w_n^2 - (1-\zeta^2)w_n^2
+2 \zeta w_n (-\zeta w_n) +w_n^2
\}\\
+
 Be^{-\zeta w_n t}cos(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi) 
\{
2(-\zeta w_n)\sqrt{1-\zeta^2}w_n
+2 \zeta w_n \sqrt{1-\zeta^2}w_n
\}\\
=0

성립

초기 값

y(0) = Bsin(\phi)\\
y'(0)  =  B w_n sin(\phi + \pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )

이 두 방정식은 $B,\phi달러에 대한 해답을 구하면 해결 방안을 얻을 수 있다.

B=\frac{y(0)}{sin \phi}

대입

y'(0)  =  \frac{y(0)}{sin \phi}　 w_n sin(\phi + \pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )\\

\therefore
\frac{y'(0)}{y(0)w_n}=cos(\pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )+\frac{sin(\pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}{tan \phi}

그래서

tan \phi = \frac{sin(\pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}{\frac{y'(0)}{y(0)w_n}-cos(\pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}

계산할 수 있다

B=\frac{y(0)}{sin \phi}

완성
단, $y(0)=0$이면 0%가 발생하므로 따로 사용해야 합니다
뭐, $\phi=0$로 결정해야 하므로 간단합니다.

B= \frac{y'(0)}{   w_n sin( \pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}

완성

Scielab로 검증

csim과 이론해의 비교를 진행하였다

완전 똑같아.

clear();
for i = 1:10 do
    close
end

zeta = 0.5
wn = 3
a = 1

A=[-2*zeta*wn -1*wn^2
1 0]

B=[a*wn^2
0]

C=[0 1]
D=[0]

x0=[1
3]

sl = syslin('c',A,B,C,D,x0);


t=0:0.01:10;
u=zeros(1,length(t))
y=csim(u,t,sl)

beta1 = %pi - atan(sqrt(1-zeta^2)/zeta);

if x0(2)==0 then
    phi = 0
    b=x0(1)/wn/sin(beta1)
else
    phi = atan(sin(beta1)/(x0(1)/x0(2)/wn - cos(beta1) ));
    b=x0(2)/sin(phi);
end


y2= diag(b*exp(-zeta*wn*t')*sin(sqrt(1-zeta^2)*wn*t +phi) )
clf();
plot(t,y);
figure();
plot(t,y2);

자유 진동 총결산

y(t) =  Be^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi)

초기 상태의 경우 $B,\phi 달러를 다음 공식으로 조정합니다.

tan \phi = \frac{sin(\pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}{\frac{y'(0)}{y(0)w_n}-cos(\pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}\\
B=\frac{y(0)}{sin \phi}

$y(0)=0$일 때만 예외

\phi = 0\\
B= \frac{y'(0)}{   w_n sin( \pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )}

또한 $y'(t)$를 관측할 수 있다면

y'(t) =  Bw_ne^{-\zeta w_n t}sin(\sqrt{1-\zeta^2}w_nt+\phi + \pi -tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}) \\

되다
우리도 scilab로 검증을 진행했지만 문제가 없습니다