고스와 로렌즈 함수의 차이

고스 함수의 끝부분은 매우 작고 로렌즈 함수의 끝부분은 매우 크다. 정성설뿐만 아니라 정량의 확인이 어느 정도인지도 모른다.
로렌즈 함수에 대한 정의는 일본어 위키백과와위키백과 영어: Cauchy distribution가 잘 통일되어 있으니 참고하십시오. 여기서 반폭의 넓이를 일찍 알고 싶은 정수의 배, 양자가 정량적으로 얼마나 차이가 나는지 알고 싶은 사람을 위한 글입니다. 정밀 스펙트럼 영역 등을 구상해 보았습니다.여러 선을 분리하려는 상황에서 로렌티안의 꼬리 성분을 무시할 수 없는 상황.

로렌즈 함수 정의

평균값이 0이고 면적이 1인 로렌즈 함수를 사용합니다.

\begin{align}
l(x, \gamma) &= \frac{1}{\pi \gamma ( 1 + (x/\gamma)^2)} \\
             &= \frac{l(0,\gamma)}{ 1 + (x/\gamma)^2}
\end{align}

이 정의에서 x=0의 값은 감마에 의존합니다.정의에 따라 $l(0\gamma)의 정규화 처리를 다른 변수에 통합할 수 있습니다.
이 정의에서

달러\gamma달러는half-width at half-maximum(HWHM)입니다.

$2\gamma는full width at half maximum(FWHM)입니다.

$2\gamma는 4분의 1 범위입니다.

되다4분위 범위는 큰 순서로 데이터를 배열해 4부분(각 25%), 상위 25%점(14분위)과 75%점(34분위)의 범위가 4분위 범위로 나뉜다.14분위는 정감마, 34분위는 마이너스 감마였다.

가우스 함수 정의

사용 평균치가 0이고 전체 포인트 중 면적이 1인 표준화고스 함수, 별명 정규distribution.

\begin{align}
g(x, \sigma) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} exp( - (x/\sigma)^2/2) \\
             &= g(0, \sigma) exp( - (x/\sigma)^2/2) \\
\end{align}

이 반폭과의 관계는 FWHM=2달러\sigma\sqrt{2ln2}\sim2.35\sigma달러입니다.

제도 방법

가우스와 로렌티안 평균은 0, FWHM 모두 4였다.
comp_gauss_lorentian.py

#!/usr/bin/env python 

import math
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

pi=math.pi

def l(x,gamma):
    return 1/(pi * gamma * ( 1 + math.pow(x/gamma,2))) # gamma = 0.5 * FWHM

def g(x,sigma):
    return math.exp(-math.pow(x/sigma,2)/2) / math.sqrt(2*pi*sigma*sigma)

fwhm = 4
hwhm = 0.5 * fwhm
gamma= 0.5 * fwhm
sigma=fwhm / 2.35 # sigma ==> FWHM

x = np.linspace(0, 10, 100)
yl = [ l(onex,gamma)/l(0,gamma) for onex in x]
yg = [ g(onex,sigma)/g(0,sigma) for onex in x]

n = np.arange(6)
iyl = [ l(hwhm*onen,gamma)/l(0,gamma) for onen in n]
iyg = [ g(hwhm*onen,sigma)/g(0,sigma) for onen in n]

plt.errorbar(x,yl, fmt="r--",label="Lorentzian FWHM = " + str(fwhm))
plt.errorbar(x,yg, fmt="b--",label="Gaussian FWHM = " + str(fwhm))

plt.errorbar(n*hwhm,iyl, fmt="ro", label="Lorentzian n x HWHM")
plt.errorbar(n*hwhm,iyg, fmt="bo", label="Gaussian n x HWHM")

plt.yscale('linear')
plt.grid(linestyle='dotted',alpha=0.5)
plt.legend(bbox_to_anchor=(-0.1, 1.0, 1.2, 0.01), loc='lower left',ncol=2, borderaxespad=0.,fontsize=8)
plt.show()

for onen,onel,oneg in zip(n,iyl,iyg):
    print(onen,onel,oneg)

단순히 선으로 둘을 그릴 뿐 아니라 FWHM(반값 전폭(FWHM-Full Width at Half Maximum)의 전체 수배 값인 FWHM(FWHM-Full Width at Half Maximum)의 점 대신 반값 반폭(FWHM-Full Width at Half Maximum)을 겹쳐 그렸다.
Nx 반값 반폭(현재 상황은 2)의 N에 대해 로렌티안과 고스안을 총괄하는 것은 어떤 값인가.
N
로렌티아
가우스
0
1.0
1.0
1
0.5
0.50141
2
0.2
0.06321
3
0.1
0.002003
4
0.058
1.596e-05
5
0.0384
3.199e-08
6
0.0270
1.611e-11
7
0.0199
2.041e-15
8
0.0153
6.499e-20
9
0.0121
5.203e-25
10
0.0099
1.047e-30
50
0.0004
0
100
1e-04
0
이 표는 로렌티안의 반값 반폭의 3배(N=3)가량은 10%대로 떨어지는 데 그쳤고, 고스안은 0.2%대로 떨어졌다.반치 반폭의 10배(N=10)라도 라렌티안은 1% 정도의 잉여 성분을 가지고 있는데 고스앙은 실질적으로 거의 0이다.

실용적인 사용 방법

휘선의 폭을 측정하는 장치의 에너지 해상도가 좋아지면 자연의 폭이 좋아지고 꼬리 성분의 영향은 무시할 수 없다.예를 들어 자연 너비의 FWHM이 4eV일 때 N=10x2eV=20eV가 멀어져도 약 1%의 누출이 있을 수 있다.N=100x2eV=200eV는 분리해도 0.01% 정도의 기여를 남기기 때문에 로렌티안의 스타일이 의외로 만만치 않다.