개요

안정된 칼만 필터와 이체 방정식에 대한
방정식·평가 함수 절단에 관한 글을 찾지 못했기 때문에
참고 도서: 칼만 필터와 자체 적응 신호 처리 곡물 하기우론 사저

선결

이절 방정식

P = APA^T +DWD^T - PC^T(V-CPC^T)^{-1}CP

감시 시스템

\hat{x}(t|Y(t))  = \hat{x}(t|Y(t-1)) + PC^TV^{-1} (y(t) - C \hat{x}(t|Y(t-1)))

칼만 이득$PC^T^{1}달러
되다

목적 함수

다음과 같은 상태를 고려하다.

입력과 출력을 저장하는 상황입니다.
시스템은 다음과 같은 확률에 따라 시스템을 분리할 것이다.

\begin{align*}
\boldsymbol{x}(t) &= \boldsymbol{Ax}(t) + \boldsymbol{Bu}(t) + D w(t)\\
\boldsymbol{y}(t) &= \boldsymbol{Cx}(t)+v(t)
\end{align*}

이산 시스템이기 때문에, 시간을 이해하기 위해 $n 달러를 사용하려고 했습니다.
예.

백색 소음

모든 신호와 독립

평균 0달러

협방차 $E[v^T] = V, E[w^T] = W달러

으로
현재 시간은 $t, $y(0),...,이번 목표는 컴퓨터에 y (t) 달러를 저장할 때 $x (t) 달러를 추정하는 것이다.
$y(0),...,앞으로는 y(t-1)=Y(t-1)달러로 기술한다.
추정=(추정치-진가)^2 감소
따라서 대상 함수 $J$는

J=E[ \{ x(t)-\hat{x}(t)\}^T \{x(t)-\hat{x}(t)\} | Y(t)] \\
\hat{x(t)}:推定値\\
E:期待値・平均値

약간 비약적이다.
우선, 왜 기대치가 나타날까요? $vw달러의 확률 소음이기 때문에 $x(t)$는 확정치가 될 수 없습니다. 따라서 평균치를 사용하는 것이 타당하다고 여겨져 사용됩니다.
LQR 같은 곳에 타임 포인트를 넣었지만, 목표는 타임 $t 상태에서만 추측하기 때문에 들어갈 수 없습니다.

용어 설명

$E(A|B)달러란 현상 발생 시 현상 $A$A의 기대치를 나타낸다.

그림의 $p(A|B)는 확률 분포 함수라고 불린다. 고등학교 수학에서의 확률은 표의 이산값을 얻었지만, 지금은 $A=1.0달러와 $A=1.1달러와 같은 연속적인 수치를 취하는 상황을 고려하고 있다.
여기서 $A=1.00001달러를 얻을 확률은 무한하다. $A=1.0002달러처럼 미세한 편차로 $A=1.00001달러를 벗어났기 때문이다. 따라서 확률은 $1.0\leqA\leq1.2달러를 얻을 확률처럼 범위 내에서 고려된다는 것이다.

確率 = \int^{1.2}_{1.0} p(A|B) dA

이렇게 포인트로 계산해.

정적 분포 정보

벡터 변수 $x$(차$n$)는 $고스(\mu,\Sigma)$의 정규 분포를 따른다.
평균 $\mu, 공방차 행렬 $\Sigma의 정적 분포
공식에서

p(x) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^n |\Sigma |} } \exp ( - \frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu) )

확률 분포.
참조: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E9%87%8F%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

채점 함수 수정

평가 함수를 수정합니다.

\begin{align}
J&=&E[(x(t)-\hat{x}(t))^T(x(t)-\hat{x}(t)) | Y(t)] \\
&=&  \hat{x}(t)^T \hat{x}(t)　-2\hat{x}(t)^T E[x(t)|Y(t)] +E[x(t)^Tx(t)|Y(t)]\\
&=& \{ \hat{x}(t) -E[x(t)|Y(t)] \} ^T \{ \hat{x}(t) -E[x(t)|Y(t)] \} +E[x(t)^Tx(t) | Y(t)] -E[x(t)|Y(t)] ^T E
[x(t)|Y(t)]\\
\end{align}

$E[x(t)^Tx(t)|Y(t)]-E[x(t)|Y(t)]^TE[x(t)|Y(t)] 달러의 항목은 $x(t)달러로만 결정됩니다.
따라서 달러를 최소화해야 한다

\hat{x}(t)  = E[x(t)|Y(t)]

그랬으면 좋겠다!

추측법

추정값에 $\hat{x}(t)달러를 사용했지만 $Y(t)달러에서 추정됨이라는 정보를 가져와 $\hat{x}(t|Y(t)$로 썼습니다.

p(x(t)|Y(t))

이상의 확률로 $p(x(t)|Y(t)$를 얻을 수 있다면 $\hat{x}(t|Y(t)$를 가장 잘 추정할 수 있습니다.
$p (x (t) | Y (t) 를 베이스의 정리에 따라 변형시킵니다.
이후에 모든 변수가 정적 분포를 따른다고 가정하자.

\begin{align}
p(x(t)|Y(t)) &=& \frac {p(x(t) \cap Y(t) )}{p(Y(t))} \\
&=& \frac {p(x(t) \cap Y(t-1) \cap y(t) )}{p(Y(t-1) \cap y(t) )} \\
&=& \frac {p(y(t)|x(t) ) p(x(t) | Y(t-1)) p(Y(t-1))}{p(y(t) |Y(t-1) ) p(Y(t-1))} \\
&=& \frac {p(y(t)|x(t) ) p(x(t) | Y(t-1))}{p(y(t) |Y(t-1) ) } \\
\end{align}

상술한 변형은 베이스의 정리이다

p(A \cap B) = p(B|A) p(A)

사용

\begin{align}
p(x(t) \cap Y(t-1) \cap y(t) ) &=& p(x(t) \cap y(t) |Y(t-1) p(Y(t-1))\\
 &=& p(y(t)|x(t) \cap Y(t-1)) p(x(t) | Y(t-1)) p(Y(t-1))\\
&=& p(y(t)|x(t) ) p(x(t) | Y(t-1)) p(Y(t-1))\\
\end{align}

사용했습니다.
두 번째 줄에서 세 번째 줄로 변형

 p(y(t)|x(t) \cap Y(t-1)) = p(y(t)|x(t) )

$Y(t)=Cx(t)+v(t)달러입니다. $Y(t-1)달러에 의해 변형되지 않기 때문입니다.

총결산

p(x(t)|Y(t))  = \frac {p(y(t)|x(t) ) p(x(t) | Y(t-1))}{p(y(t) |Y(t-1) ) } \\

이후 오른쪽의 세 확률 분포를 계산하고 왼쪽의 $p(x(t)|Y(t)$를 계산합니다.

p(y(t)|x(t))

 y(t) = Cx(t) + v(t)

따라서 가장 간단한 것은 조건 확률이 있기 때문에 $x(t)달러는 확정값으로 간주된다. 따라서 $y(t)달러는 평균 $Cx(t)$, 협방차 행렬 $V달러의 정적 분포를 따른다.
추기

E[\{y(t) - Cx(t) \} ^T \{y(t) - Cx(t) \}  ] = E[v(t)^T v(t)]\\
 = V

되다

p(y(t) |Y(t-1))

\begin{align}
p(y(t) |Y(t-1) ) &=& p(  Cx(t) + v(t)  |Y(t-1) )\\
&=& p(  Cx(t)   |Y(t-1) ) + p(  v(t)  |Y(t-1) )\\
\end{align}

달러는 달러 x (t) 달러와 독립하여 이루어진 것이다. 평균치는

\begin{align}
E[y(t) |Y(t-1) ] &=& E[  Cx(t)   |Y(t-1) ]+ E[  v(t)  |Y(t-1) ]\\
&=& C \hat{x}(t|Y(t-1)) 
\end{align}

이 변형은...

\hat{x}(t|Y(t))  = E[x(t)|Y(t)]

이것은 이전에 정의된 변형이다.
공분산

\begin{align}
cov[y(t) |Y(t-1) ] &=& E[\{y(t) - C \hat{x}(t|Y(t-1)) \} \{y(t) - C \hat{x}(t|Y(t-1)) \} ^T ]\\
&=& E[\{Cx(t) +v(t)  - C \hat{x}(t|Y(t-1)) \} \{Cx(t) +v(t)- C \hat{x}(t|Y(t-1)) \} ^T ]\\
\end{align}

오차 벡터 정의$e

e(t|Y(t-1))=x(t) -  \hat{x}(t|Y(t-1))

공분산

\begin{align}
cov[y(t) |Y(t-1) ] &=& E[\{Cx(t) +v(t)  - C \hat{x}(t|Y(t-1)) \} \{Cx(t) +v(t)- C \hat{x}(t|Y(t-1)) \} ^T ]\\
&=& E[\{Ce(t|Y(t-1)) +v(t)  \} \{Ce(t|Y(t-1)) +v(t)  \}^T ]\\
&=&C E[e(t|Y(t-1)) e(t|Y(t-1))^T]C^T +V
\end{align}

마지막 변형은 $ve, e달러가 서로 독립된 변형입니다.

P(t|Y(t-1)) = E[e(t|Y(t-1)) e(t|Y(t-1))^T]

$P 를 새로 정의했습니다.

총결산

$p(y(t)|Y(t-1)$의

평균 $C\hat{x}(t|Y(t-1)$

합방차는 $CP(t|Y(t-1) C^T+V달러

P(t|Y(t-1)) = E[e(t|Y(t-1)) e(t|Y(t-1))^T]

로 정의됩니다.

p(x(t) | Y(t-1))

마지막.

\begin{align*}
\boldsymbol{x}(t+1) &= \boldsymbol{Ax}(t) + \boldsymbol{Bu}(t) + D w(t)\\
\boldsymbol{y}(t) &= \boldsymbol{Cx}(t)+v(t)
\end{align*}

더욱,

p(x(t) | Y(t-1))= p(Ax(t-1) +Bu(t-1) + Dw(t-1) |Y(t-1))

$w(t-1)달러는 $x(t-1)달러와 독립하고 $u(t-1)달러는 시간에 $t이며 $Y(t-1)달러는 이미 결정된 값입니다

\begin{align}
E[x(t) | Y(t-1)] &=& E[Ax(t-1)  |Y(t-1)] + Bu(t-1)\\
 &=& A \hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)\\
\end{align}

또한 $E[x(t)|Y(t-1)]=\hat{x}(t|Y(t-1))$

\begin{align}
\hat{x}(t|Y(t-1)) &=&  A \hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)\\
\end{align}

이것도 추정치의 업데이트 규칙이다.
공분산

\begin{align}
cov[x(t) | Y(t-1)] &=& E[ \{ x(t) - A\hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)  \} \{ x(t) - A\hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)  \} ^T]\\
&=& E[ \{ Ax(t-1) +Bu(t-1) +Dw(t-1)  - A\hat{x}(t-1|Y(t-1))  - Bu(t-1)  \}\\ \{ Ax(t-1) +Bu(t-1) +Dw(t-1)  - A\hat{x}(t-1|Y(t-1))  - Bu(t-1)  \}^T]\\
&=&E[ \{ Ae(t-1|Y(t-1))  +Dw(t-1)    \} \{ Ae(t-1|Y(t-1))  +Dw(t-1)    \}^T]\\
&=&AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T
\end{align}

마지막 줄의 변형

P(t|Y(t-1)) = E[e(t|Y(t-1)) e(t|Y(t-1))^T]

$w(t-1)와 $e(t-1|Y(t-1)와 $독립을 사용했습니다.
이 의식은 매우 중요한 의식이다.

\begin{align}
cov[x(t) | Y(t-1)] &=& E[ \{ x(t) -\hat{x}(t|Y(t-1))   \} \{ x(t) - \hat{x}(t|Y(t-1))   \} ^T]\\
&=& P(t|Y(t-1))
\end{align}

근거

P(t|Y(t-1)) = AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T

행렬의 갱신식이 되다.

총결산

평균 $\hat{x}(t|Y(t-1)$

협방차 $P(t|Y(t-1)$

추정치

\begin{align}
\hat{x}(t|Y(t-1)) &=&  A \hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)\\
\end{align}

P(t|Y(t-1)) = AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T

에 따라 업데이트합니다.
이상에 필요한 세 가지 확률 분포를 획득하였습니다.

섞다

p(x(t)|Y(t))  = \frac {p(y(t)|x(t) ) p(x(t) | Y(t-1))}{p(y(t) |Y(t-1) ) } \\

네.
$p(y(t)|x(t)$

평균 $Cx(t)달러

협방차 행렬 $V달러

$p(x(t)|Y(t-1)$

평균 $\hat{x}(t|Y(t-1)$

협방차 $P(t|Y(t-1)$

$p(y(t)|Y(t-1)$

평균 $C\hat{x}(t|Y(t-1)$

합방차는 $CP(t|Y(t-1)) C^T+V달러

e(t|Y(t-1))=x(t) -  \hat{x}(t|Y(t-1))\\
P(t|Y(t-1)) = E[e(t|Y(t-1)) e(t|Y(t-1))^T]

두 개의 새로운 변수를 가져왔습니다.
추정치는

\begin{align}
\hat{x}(t|Y(t-1)) &=&  A \hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)\\
\end{align}

P(t|Y(t-1)) = AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T

에 따라 업데이트합니다.
세 가지 확률의 분포를 곱하다.
벡터 변수 $x$(차$n$)는 $고스(\mu,\Sigma)$의 정규 분포를 따른다.
평균 $\mu, 공방차 행렬 $\Sigma의 정적 분포

p(x) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^n |\Sigma |} } \exp ( - \frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu) )

이렇게 쓰면 그것을 기초로 실제로 걸어 놓는다.
읽기 편리하도록 다음과 같이 약기하다

P=P(t|Y(t-1))\\
x=x(t)\\
\hat{x} = \hat{x}(t|Y(t-1))\\
y= y(t)\\
Y= Y(t-1)

\begin{align}
p(x(t)|Y(t))  &=& \frac {p(y(t)|x(t) ) p(x(t) | Y(t-1))}{p(y(t) |Y(t-1) ) } \\

&=& \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^n |V | |P| |CPC^T + V| ^{-1}}  } 
 \exp ( - \frac{1}{2} \{
(y - Cx) ^T V^{-1}(y - Cx)
+(x - \hat{x})^T P^{-1}(x - \hat{x})
-(y - C \hat{x})^T (CPC^T + V)^{-1} (y - C \hat{x} )^T
\})
\end{align}

아주 긴 공식으로 평균치와 오차의 합방차를 구합니다!
지수부만 뽑아요.

\begin{align}
 \exp ( - \frac{1}{2} \{
(y - Cx) ^T V^{-1}(y - Cx)
+(x - \hat{x})^T P^{-1}(x - \hat{x})
-(y - C \hat{x})^T (CPC^T + V)^{-1} (y - C \hat{x} )^T
\})\\
 =\exp ( - \frac{1}{2} \{
(y - C \hat{x} - C( x - \hat{x})) ^T V^{-1}(y - C \hat{x} - C( x - \hat{x}))
+(x - \hat{x})^T P^{-1}(x - \hat{x})
-(y - C \hat{x})^T (CPC^T + V)^{-1} (y - C \hat{x} )^T
\})\\

=\exp ( - \frac{1}{2} \{

+(x - \hat{x})^T (P^{-1} +C^TV^{-1}C)(x - \hat{x})
+(y - C \hat{x})^T (-(CPC^T + V)^{-1} +V^{-1})(y - C \hat{x} )^T
-(y - C \hat{x})^T V^{-1} C(x - \hat{x})
-(x - \hat{x})^T C^TV^{-1}(y - C \hat{x})

\})

\end{align}

되다
새 변수 정의$Q$

Q^{-1} =  P^{-1}  +C^T V^{-1} C

역 행렬의 보조정리
https://mathtrain.jp/woodbury

(CP C^T+V)^{-1} = V^{-1}-V^{-1}C(P^{-1}+C^TV^{-1}C)^{-1} C^T V^{-1}\\
=V^{-1}-V^{-1}C Q C^T V^{-1}

되다
총결산부의 업무로 돌아가다

\exp ( - \frac{1}{2} \{

+(x - \hat{x})^T (P^{-1} +C^TV^{-1}C)(x - \hat{x})
+(y - C \hat{x})^T (-(CPC^T + V)^{-1} +V^{-1})(y - C \hat{x} )^T
-(y - C \hat{x})^T V^{-1} C(x - \hat{x})
-(x - \hat{x})^T C^TV^{-1}(y - C \hat{x})

\})\\
=
\exp ( - \frac{1}{2} \{

+(x - \hat{x})^T (Q^{-1})(x - \hat{x})
+(y - C \hat{x})^T (-V^{-1}+V^{-1}C Q C^T V^{-1} +V^{-1})(y - C \hat{x} )^T
-(y - C \hat{x})^T V^{-1} C(x - \hat{x})
-(x - \hat{x})^T C^TV^{-1}(y - C \hat{x})

\})\\

=
\exp ( - \frac{1}{2} \{

+(x - \hat{x})^T (Q^{-1})(x - \hat{x})
+(y - C \hat{x})^T (V^{-1}C Q C^T V^{-1})(y - C \hat{x} )^T
-(y - C \hat{x})^T V^{-1} C(x - \hat{x})
-(x - \hat{x})^T C^TV^{-1}(y - C \hat{x})

\})\\

=
\exp ( - \frac{1}{2} \{

(x - \hat{x} -QC^TV^{-1} (y - C \hat{x}) )^T (Q^{-1})(x - \hat{x} -QC^TV^{-1} (y - C \hat{x}) )


\})\\

따라서 $p(x(t)|Y(t)$

평균 $\hat{x}+QC^TV^{-1}(y-c\hat{x})$

협방차는 $Q=(P^{-1}+C^TV^{1}C)^{-1}달러

되다

\hat{x}(t|Y(t))  = E[x(t)|Y(t)]

이렇게 하는 것이 가장 적합하다

\hat{x}(t|Y(t))  =\hat{x}  + QC^TV^{-1} (y - C \hat{x})\\
= \hat{x}(t|Y(t-1)) + QC^TV^{-1} (y(t) - C \hat{x}(t|Y(t-1)))

그럼 됐다!
동시에

e(t|Y(t-1))=x(t) -  \hat{x}(t|Y(t-1))\\
P(t|Y(t-1)) = E[e(t|Y(t-1)) e(t|Y(t-1))^T]

의 정의는 $P(t|Y(t)와 일치합니다.
근거

Q = P(t|Y(t))

되다

결론

\hat{x}(t|Y(t))  = \hat{x}(t|Y(t-1)) + P(t|Y(t))C^TV^{-1} (y(t) - C \hat{x}(t|Y(t-1)))\tag{1}

\begin{align}
\hat{x}(t|Y(t-1)) &=&  A \hat{x}(t-1|Y(t-1)) + Bu(t-1)\\\tag{2}
\end{align}

P(t|Y(t))^{-1} =  P(t|Y(t-1))^{-1}  +C^T V^{-1} C\tag{3}

P(t|Y(t-1)) = AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T\tag{4}

(1): 측정을 통해 추정치 업데이트
(2): 미래 시간의 추측
(3): 협방차를 관찰함으로써 발생하는 변화
(4): 공분산의 시간 진전으로 인한 변화
무한시간 가르만 이득을 계산하려면
(3), (4)식은 방정식을 리셋하는 것이다.
칼만 이득은 $P(t|Y(t)) C^T^{-1}달러입니다.

이절 방정식의 도출

P(t|Y(t))^{-1} =  P(t|Y(t-1))^{-1}  +C^T V^{-1} C\tag{3}

P(t|Y(t-1)) = AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T\tag{4}

총결산하다
$P(t-1|(t-1)$->$P(t|Y(t)$에 대한 변화식을 만듭니다.

P(t|Y(t))^{-1} =   (AP(t-1|Y(t-1)) A^T +DWD^T )^{-1}  +C^T V^{-1} C \\

중복 계산 결과 $P(t|Y(t)=P(t-1|Y(t-1))=P달러일 경우

P^{-1} =   (APA^T +DWD^T )^{-1}  +C^T V^{-1} C \\

이것은 안정적인 칼만 필터의 이체 방정식이다!!
만약 이 공식이 한층 더 변형된다면, 흔히 볼 수 있는 형식으로 변형될 수 있다

APA^T +DWD^T  = (P^{-1} -C^TV^{-1}C )^{-1}\\
=P+PC^T(V-CPC^T)^{-1}CP\\

이 의식은 흔히 볼 수 있는 의식이다!

P = APA^T +DWD^T - PC^T(V-CPC^T)^{-1}CP

https://mathtrain.jp/woodbury
같은 공식

끝맺다

나는 상당히 긴 공식의 변형이 있어서 이해하기가 쉽지 않다고 생각한다.
커팅 방정식의 웹 페이지를 잘 내보내지 못했기 때문에, 나는 진정한 일부 광신자들에게 의미가 있다고 생각한다.
만약 무슨 오류가 있으면 수정 요청을 보내 주십시오.