배경.

짧은 펄스 부립엽 변환은 inc 함수라고 불리는 $\sin(x)/x달러로 표시할 수 있지만, 이산 부립엽 변환은 $\sin(Nx)/\sin(x)$처럼 inc 함수가 될 수 없는 원인에 대해 의문을 느끼거나 이유를 잊어버리는 사람이다.

이산 단 펄스 이산 부립엽 변환 방정식

notation은 참고 문헌($\Omega$k), n=-q,...을 따른다.0,,,q에서 1이 되는 짧은 펄스의 이산 부립엽 변환

y(k) = \Sigma_{n=-q}^{q} \exp(-jnk)

걸다그냥 계산하면...

y(k) = \frac{\sin((q+1/2)k)}{ \sin(k/2)}

되다공식 변형의 비결은 $1-\exp(ix)$를 볼 때 $\exp(ix/2)달러로 계산하는 것이다
$\exp(ix/2)\times(\exp(-ix/2)-\exp(ix/2)=\exp(ix/2)\times-2i\sin(x/2)달러로 변형해야 합니다.

이산 단 펄스 부립엽 변환과 이산 부립엽 변환의 비교

부립엽을 통해 변환된 sinc 함수 (= $\sin (x)/x $) 와 이산 부립엽을 통해 변환된 $\sin (N x)/\sin (x) $를 비교합니다.gnuplot을 사용하면 아래의 그림을 얻을 수 있습니다.

>gnuplot
gnuplot> g(x,a) = sin( (a+0.5)*x ) / (0.5*x)
gnuplot> f(x,a) = sin( (a+0.5)*x ) / sin(0.5*x) 
gnuplot> set samples 10000
gnuplot> plot f(x,10), g(x,10) 

부립엽 변환은 무한히 긴 시간 서열 데이터를 가정하고 어느 시간에만 짧은 펄스가 존재하기 때문에 주파수가 높은 분량이 존재하지 않는다고 생각한다.
이산 부립엽 변환에서 샘플링이 이산화되기 때문에 주파수가 높은 파는 실제 샘플링으로 인해 보이지 않을 수 있기 때문에 주기적으로 항상 높은 주파수 분량이 존재하도록 허용한다.

참고 문헌

http://www.ssc.pe.titech.ac.jp/lectures/SignalAndAnalysis/SignalsAndSystemsAnalysis9_050627.pdf