이분법이란?

비선형 방정식의 수치 해법 중 하나

중간값 정리 : 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속 함수 $f(x)$ 에서 $f(a)f(b)<0$ 이라면 $f(\alpha)=0$ $\alpha $는 구간 $ [a, b] $ 내에 있습니다

$f(a)f(b)<0$가 되는 $a,b$ 를 찾아, 중점 $c=(a+b)/2$를 새로운 끝점으로서 계산을 반복한다.

산법

초기값

$x_{a_0},x_{b_0}$ : 적절한 방법으로 결정한다. 그러나 $f(x_{a_0})f(x_{b_0})<0$

반복 절차

$x_{c_n}=(x_{a_n}+x_{b_n})/2$ $,$ $(n=1,2,\cdots)$
$f(x_{c_n})f(x_{a_n})<0$이면 $x_{a_{n+1}}=x_{a_n}$ $,$ $x_{b_{n+1}} =x_{c_n}$
$f(x_{c_n})f(x_{a_n})>0$이면 $x_{a_{n+1}}=x_{c_n}$ $,$ $x_{b_{n+1}} =x_{b_n}$

정지 규칙

$|x_{a_n}-x_{b_n}|<\varepsilon$일 때 반복 중지
그러나,$\varepsilon$은 적당하게 준다.

샘플 코드

$f(x)=x^2-1$ , 초기값 $a=0.5,b=2$로 이분법을 사용하여 해를 구하는 프로그램.
$f(a)f(b)<0$ 의 확인이나 넣지 않은 거버가바코드

bisection_method.c

#include<stdio.h>
#include<math.h>

double f (double x) {
  return x*x-1;
}

double bisection_method (double a, double b) {
  double c;
  while (fabs(a - b) > 1e-10) {
    c = (a + b) / 2;
    if (f(c) == 0) { break; }
    if (f(a) * f(c) < 0) { b = c; }
    if (f(a) * f(c) > 0) { a = c; }
  }
  return c;
}

int main (void) {
  double alpha;
  alpha = bisection_method(0.5, 2);
  printf("%f\n", alpha);
  return 0;
}

실행 결과

1.000000

특징

$f^{\prime}(x)$ 계산 불필요

쉽고 직관적 인

반드시 해에 수렴

연속이면 반드시 해에 수렴

오차는 구간폭 이하($|x_b-x_a|$)

초기값 2개 필요

Newton법 , 할선법에 비해 반복 횟수가 증가

수렴 속도: 1차

한 번의 계산으로 구간이 절반이됩니다 = 오차가 절반이됩니다