Cross Recurrence Quantification Analysis - 이론 편

개요
이번에는 발전된 시간 서열 분석 방법 중의 하나로 교차 귀속량화 분석을 채택하고 특히 그 이론을 중심으로 총결한다.
교차 귀속량화 분석
원래 정론에 따라 역학 계통의 구조를 묘사하는 방법이다.
두 시간 서열 데이터에 근거하여 그것들이 어떻게 같은 중복 모델로 운동하는지 분석할 수 있다.
→최근 몇 년 동안 심리학 분석과 교류 실험 등에 사용되었다.
비교할 분석 방법으로 다음과 같은 방법을 열거한다.
통계량 분석: 전체 데이터의 강도, 주파수, 비례 등을 조사할 때 유효하다
교차 관련 분석: 데이터 간의 공통 변동(=co-variation)을 조사할 때 유효하다
●변화의연동시기를 알아
교차 귀속량화 분석: 데이터 간 사건의 재방문(=co-visitation)을 조사할 때 유효하다
필요한 지식
・혼돈 분석과 유도자유도자 구조 - 혼돈 분석 해설 -
상공간, 유도자, 삽입, 터빈 삽입식의 정리(상기 사이트는 매우 이해하기 쉽다!)
리자투시간 순서를 초과한 시각화
연애 줄거리에 대한 대략적인 인상
이론
대략적인 절차로서
1. 두 시간 서열 데이터 중 하나에 대해 그 유도자의 재구성 생성
2. 교차 귀환도 제작
3. 각 지표의 계산
라는 절차로 해석했다.
１. 유도자 재구성
가설 시간 서열 데이터는 하나의 동적 시스템에서 발생하고 관측된 데이터는 시스템 상태(관측할 수 없는 데이터 포함)로만 확정된다.
이때 시스템 상태의 궤적을 추정한다.
구체적으로 말하면 시간 시퀀스 데이터에서 시스템의 모든 상태 변수를 매립한다.
A. 준비 시간 시퀀스 데이터 X(t)(t=0, 1, 2,...)
B. 지각시간τ도움을 구하다
지연 시간이 너무 적으면 재구성된 점이 대각선 부근에서 이동하여 구조가 거의 붕괴되어 소음의 영향을 받기 쉽다. 너무 크면 접영효과로 인해 시간 지연 좌표 사이의 구조가 사라져 소음 특수처리를 할 수 없다.
구체적으로 지각 시간 상호 정보량 I(τ)첫 번째가 작아졌어요.τ의 값
지연 시간 상호 정보량:

I(τ) = \sum_{x_{n}, x_{n-τ}} P(x_{n}, x_{n-τ})\log_2 \frac{P(x_{n}, x_{n-τ})}{P(x_{n}) P(x_{n-τ})}

하지만

P(x_{n})：時刻nにx_{n}が起こる確率\\
P(x_{n}, x_{n-τ})：時刻nにx_{n}，時刻n-τにx_{n-τ}が起こる確率

다시 말하면 X(t)와 X(t+)τ)의존도가 낮아지다τ선택하십시오.
C. 내장 차원 구하기
가짜 nearest neighbor method를 사용합니다.
우선, 타킨스의 정리로부터 어떤 유한한 삽입 차원τ_0은 상위 기하학적 성질의 유도자를 재구성할 수 있다는 것을 이미 알고 있다.
가짜nearest neighbor method에 대한 직관적인 이해로서
1. 시간 시퀀스 데이터 X(t)에서 인접한 데이터 포인트 x(t), x(t+1)(우선 1차원으로 가정하고 확장할 수 있음), 거리 계산
2. 매립으로 지연되는 시간τ1차원 증가 (결과 데이터 포인트 x (t), x (t +1) 도 1차원 확장)
3. 다시 거리를 계산하여 전거리와 후거리 비교
4. 큰 변화가 발생하면(인접점이 갑자기 멀어지면) 위상 기하학적 성질을 유지하지 않기 때문에 1로 돌아가 추가 매립한다
5. 변화가 없으면 확장 전의 삽입 차원이 적당한지 확인
공식으로 표시하면,

R^2_{D}(t,r) = \sum_{k=0}^{D-1}[x(t+kτ)-x^{(r)}(t+kτ)]^2 \\
R^2_{D+1}(t,r) = R^2_{D}(t,r) + [x(t+Dτ)-x^{(r)}(t+Dτ)]^2 \\

상대적

\frac{[x(t+Dτ)-x^{(r)}(t+Dτ)]^2}{R^2_{D}(t,r)} < R_{tolerant} 　

만족하지 않는 점조는 가능한 한 줄여서 (e.g. 전체의 10%) 가장 작은 D를 차례로 구한다.
하지만

R^2_{D}(t,r)：D次元ベクトルx(t)と，D次元位相空間上でx(t)とr番目に近いデータ点の距離 \\
R^2_{D+1}(t,r)：D+1次元ベクトルx(t)と，D次元位相空間上でx(t)とr番目に近かったデータ点の距離
 R_{tolerant}：閾値（定数）

적당한 삽입 차원을 구하면 실제로 접근하지 않는 점이 접근하지 않을 정도로 확장할 수 있다.
２. 교차 반복 차트 만들기
우선, 위상 공간의 궤적이 다시 충분한 위치에 왔을 때 궤적 회귀를 정의한다.
A. 반지름(radius)을 정하는 느낌이 좋아요(자세한 내용은 다음에)
B. 2차원 매트릭스 CR(x, y)을 준비하여 각 차원 요소를 X, Y의 각 데이터의 총수로 만든다.
C. 각 요소 CR(i, j)의 경우 D(i, j)이렇게 해서 리카스토를 교차시키면 완성!
예: 정현파(주기 함수)의 상간도
(다음 그림은 크로스오버가 아닙니다.)
상호 정보량
교차 드로잉의 피쳐

주기적인 시간 서열 데이터라면 주기적인 공간 모델이 나타나고 그렇지 않으면 비주기적인 모델이 나타난다

오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 대각선이 나타나면 사건이 시간축 없이 공동으로 발생한다는 뜻이다.

대각선과 평행 대각선이 나타나면 해당 거리와 상응하는 시간축에서 사건이 공동으로 발생했음을 알 수 있다

안정된 시간 서열이면 전체 공간이 통일된다

종선 또는 횡선이 나타나는 경우 그 길이에 따라 안정 상태가 계속됨을 나타낸다.

상술한 특징을 추출하는 지표를 한층 더 자세히 보다.
３. 지표별 계산
CRPs에서 얻은 지표는 다음과 같은 대표적 특징이 있다
역귀점 밀도 지표
(RR):
어떤 Lag가 Coupling을 생성했는지 효과적으로 조사

RR = \frac{1}{N~2}\sum_{i,j=1}^{N} CR_{i,j} \\
CR_{i,j} = Θ(ε - |x_{i} - y_{j}|) \\
ε: プロットの閾値（=radius）

대각선 지표
리비스토의 대각선을 봐라.

P(l)=\sum_{i,j=1}^{N}(1-CR_{i-1,j-1})(1-CR_{i-l,j-l})\prod_{k=0}^{l-1}CR_{i+k,j+k} \\
(1-CR_{i-1,j-1})：長さｌ未満はカウントしない \\
(1-CR_{i+l,j+l})：長さｌ以上はカウントしない \\
\prod_{k=0}^{l-1}CR_{i+k,j+k}：(i,j)からはじまる長さLの間のすべての点がプロットされているならカウントする \\

(DET):
l_min 이상의 길이를 가진 대각선을 형성하는 상간성 그림의 비율을 표시합니다. (= 고립되지 않은 그림의 비율)
시스템의 미래 상태가 사전 상태에 의해 결정되는지 여부의 정도를 나타낸다

　DET = \frac{\sum_{l=l_{min}}^{N}lP(l)}{\sum_{l=1}^{N}lP(l)}　\\
l_{min}：最低限の長さを決める閾値パラメータ．

최대 대각선 길이:
지수 혼돈 생성 지표

L_{max} = max(\{l_{i}\}_{i=1}^{N_{i}}) \\
N_{t} = \sum_{l>>l_{min}}P(l) \\
(=閾値以上の長さの対角線の本数の合計)

평균 대각선 길이:
변환 브랜치 = 시스템의 예측 가능 시간을 나타냅니다.

L = \frac{\sum_{l=l_{min}}^{N}lP(l)}{\sum_{l=min}^{N}P(l)}

대각선 길이 분포의 엔트로피:
CR의 복잡성을 나타내는 지표

ENTR = -\sum_{l=l_{min}}^{N}p(l)\ln p(l) \\
p(l) = \frac{P(l)}{N_{l}}：全体に占める長さlの対角線の割合

수직 지표
리콘도의 세로줄을 봐라.

P(v)=\sum_{i,j=1}^{N}(1-CR_{i,j-1})(1-CR_{i,j+v})\prod_{k=0}^{v-1}CR_{i,j+k} \\
(1-CR_{i,j-1})：長さｌ未満はカウントしない \\
(1-CR_{i,j+v})：長さｌ以上はカウントしない \\
\prod_{k=0}^{l-1}CR_{i,j+k}：(i,j)からはじまる長さVの縦線の間のすべての点がプロットされているならカウントする \\

수직선의 귀속률(LAM:laminarity):
v_길이가 min 이상인 세로선을 이루는 상간성도의 비율을 나타냈다(=고립되지 않은 도표의 비율)

　LAM = \frac{\sum_{v=v_{min}}^{N}vP(v)}{\sum_{v=1}^{N}vP(v)}　\\
v_{min}：最低限の長さを決める閾値パラメータ．

수직선의 평균 길이(TT:traptime):
시스템이 동일한 상태에서 머무는 시간을 표시합니다.

TT = \frac{\sum_{v=v_{min}}^{N}vP(v)}{\sum_{v=min}^{N}P(v)}

이런 지표로 시간 서열 데이터를 분석하다.
총결산
오랜만에 지상 대수식...
나는 이론의 생각이 수학의 외관보다 더 직관적이라고 생각한다.
나는 다음에 여력이 있을 때도 실천편을 쓰고 싶다.
참고 자료

Cross-recurrence quantification analysis of categorical and continuous time series: an R package

'R advent callender 2018'8일차.

R 및 시간 시퀀스(3)

CRQA(Cross-RequalLogic Qualization Analysis)

리콘도의 혼돈 시간 서열에 대한 통계 분석

사회 심리학자의 시간 시리즈 분석 입문

역귀량화 분석을 통해 비선형 시간 서열 분석의 절차

유도자 구조 - 혼돈 분석 해설 -

Mutual information

False nearest neighbors

Calculation of Average Mutual Information (AMI) and False-Nearest Neighbors (FNN) for the Estimation of Embedding Parameters of Multidimensional Time Series in Matlab