Codeforces 1106 F Lunar New Year and a Recursive Sequence | BSGS / exgcd / 행렬 곱셈

나 는 시 체 를 사취 했다!
고 3 은퇴 선수 들 이 천리 와 김 시험지 CF 를 가까스로 포기 하고 결국 shi 처럼......................................................................한 학기 동안 코드 를 두 드 리 지 않 아서 정말 잊 어 버 렸 어 요.
시험 문 제 는 역시 정정 해 야 한다.
P. S. 이 알고리즘 들 은 하나 로 생각 이 안 나 요. TAT.
제목 링크
Codeforces 1106 F Lunar New Year and a Recursive Sequence 새해 및 전달 수열
제목 설명
어떤 수열 \ (\ {f i \} \ \) 전달 공식: \ [f i = (\ prod {j = 1} ^ kf {i - j} ^ {b j}) \ bmod p \]
그 중 \ (b \) 는 알려 진 길이 가 \ (k \) 인 수열, \ (p = 998244353 \), \ (f 1 = f 2 =... = f {k - 1} = 1 \), \ (f k \) 알 수 없습니다.
두 개의 수 를 드 립 니 다.
\(k \le 100, n \le 10^9\)
해제
수론정말 머리 가 벗 겨 진다!
우선 이 데이터 범 위 는 무엇 을 생각 나 게 합 니까?행렬 곱셈!
행렬 곱셈 이 이것 을 모두 곱셈 과 곱셈 의 전달 수열 로 미 루 려 면 어떻게 합 니까?숫자 를 맞 춰 라!이산 대수!
그래서 이 문제 의 관건 적 인 두 개의 시험 점 이 너 에 게 발견 되 었 다!
(그러나 나 는 너무 요리 해서 발견 할 수 없다 =)
이산 대수 란 무엇 입 니까?
모두 가 알다 시 피 (대중 = = NTT 를 배 운 사람 등) 이 즐겨 듣 는 계수 \ (p = 998244353 \) 는 원래 뿌리 \ (g = 3 \) 가 있 고 \ (g ^ i (0 \ le i < P - 1) \) 와 \ (1 \ le x < P \) 가 일일이 대응한다.그러면 우리 가 배 운 대 수 를 비교 해서 이 \ (i \) 를 \ (x \) 의 이산 대수 라 고 부른다.
수열 (h i \) 을 \ (f i \) 의 이산 대수 로 합 니 다.
그러면 전달 식: \ \ [h i = (\ sum {j = 1} ^ kb j \ cdot h {i - j}) \ bmod (p - 1) \ \]
그 중 에 (h 1 = h 2 =... = h {k - 1} = 0 \)주의 모드 가 \ (p - 1 \) 로 바 뀌 었 습 니 다.
이거 매트릭스 로 가속 할 수 있어!만약 우리 가 \ (h k \) 를 1 로 설정 하여 가지 고 들 어가 서 \ (h n = c \) 를 구한다 면 \ (h n = c \ cdot h k \ bmod (p - 1) \ 가 있다.
\ (h n \) 는 \ (m \) 의 이산 대수 로 BSGS 로 구 할 수 있 습 니 다.
exgcd 는 방금 이 동 여 방정식 을 풀 면 \ (h k \) 를 얻 을 수 있 습 니 다.
\ (f k = g ^ {h k} \), 빠 른 멱 으로 \ (f k \) 를 얻 을 수 있 습 니 다.
exgcd 가 풀 리 지 않 은 것 을 발견 하면 출력 - 1.
생각 이 되 게 또렷 하지 않 아 요?
코드

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('
')
using namespace std;
typedef long long ll;
template 
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
        if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template 
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 102, P = 998244353, P2 = 998244352, G = 3;
int K;
ll b[N], n, m, C;

namespace BSGS {
    const int S = 32000, M = 2000000;
    int cnt = 0, adj[M + 5], nxt[S + 5];
    ll key[S + 5], val[S + 5];
    void insert(ll K, ll V){
        int p = K % M;
        key[++cnt] = K;
        val[cnt] = V;
        nxt[cnt] = adj[p];
        adj[p] = cnt;
    }
    ll search(ll K){
        for(int u = adj[K % M]; u; u = nxt[u])
            if(key[u] == K) return val[u];
        return -1;
    }
    void init(){
        ll sum = 1;
        for(int i = 1; i <= S; i++)
            sum = sum * G % P;
        ll tot = 1;
        for(int i = 1; (i - 1) * S < P - 1; i++)
            tot = tot * sum % P, insert(tot, i * S);
    }
    ll log(ll x){
        ll sum = 1, ret;
        for(int i = 1; i <= S; i++){
            sum = sum * G % P;
            ret = search(sum * x % P);
            if(~ret && ret < P - 1) return ret - i;
        }
        assert(0);
        return -1;
    }
}

struct matrix {
    ll g[N][N];
    matrix(){
        memset(g, 0, sizeof(g));
    }
    matrix(int x){
        memset(g, 0, sizeof(g));
        for(int i = 1; i <= K; i++)
            g[i][i] = 1;
    }
    matrix operator * (const matrix &b){
        matrix c;
        for(int i = 1; i <= K; i++)
            for(int j = 1; j <= K; j++)
                for(int k = 1; k <= K; k++)
                    c.g[i][j] = (c.g[i][j] + g[i][k] * b.g[k][j]) % P2;
        return c;
    }
};

ll qpow(ll a, ll x){
    ll ret = 1;
    while(x){
        if(x & 1) ret = ret * a % P;
        a = a * a % P;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
matrix qpow(matrix a, ll x){
    matrix ret(1);
    while(x){
        if(x & 1) ret = ret * a;
        a = a * a;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
ll calcC(){
    matrix ret, op;
    ret.g[K][1] = 1;
    for(int i = 1; i < K; i++)
        op.g[i][i + 1] = 1;
    for(int i = 1; i <= K; i++)
        op.g[K][i] = b[K - i + 1];
    ret = qpow(op, n - K) * ret;
    return ret.g[K][1];
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &g, ll &x, ll &y){
    if(!b) return (void)(x = 1, y = 0, g = a);
    exgcd(b, a % b, g, y, x);
    y -= x * (a / b);
}
ll solve(ll A, ll B){ //Ax % P2 == B, solve x
    ll a = A, b = P2, g, x, y;
    exgcd(a, b, g, x, y);
    if(B % g) return -1;
    x *= B / g, y *= B / g;
    ll t = b / g;
    x = (x % t + t) % t;
    return x;
}

int main(){

    BSGS::init();
    read(K);
    for(int i = 1; i <= K; i++) read(b[i]);
    read(n), read(m);
    C = calcC();
    m = BSGS::log(m);
    ll ans = solve(C, m);
    if(ans == -1) puts("-1");
    else write(qpow(G, ans)), enter;

    return 0;
}