돌진: 2.3 글래스만 행렬의 구축

파이톤에서 Michael Elad 저, 옥목이 철역된 스파 스모그 델링의 2장 3절의 그레이스만 대열 구축을 시도했습니다.
돌진 중
$$(P_0):\min_x ||\mathbf{x}||_0\,\rm{subject\, to}\,\mathbf{b}=\mathbf{Ax}$$
질문\mathbf{A}$n×행렬 $$(m>n)$.
여기 $\mathbf{A} 직교 행렬에 가까운 정도($\mathbf{A}^T\mathbf{A}달러가 $\mathbf{I}달러에 가까운 정도)$P$0달러의 해독을 얻는 것이 쉬워졌다.
$\mathbf{A}는 정사각형 행렬이 아니기 때문에 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}의 비대각 원소는 모두 0이 되지 않으며 하한선은
$$\mu(\mathbf{A})\geq\sqrt{\frac{m-n}{n(m-1)}}$$
.이 $\mu(\mathbf{A})는 $\mathbf{A}의 행렬을 상호간성이라고 합니다.
몇몇 알고리즘을 쓰다$\mathbf{x}의 풀이 후보를 찾습니다$\mathbf{x}달러일 때
$$ ||\mathbf{x}||_0 <\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu(\mathbf{A})})$$
만약 조건이 충족된다면 달러\mathbf{x}는 $\mathbf{Ax}의 제약 아래 가장 완벽한 유일한 해결 방안이라고 할 수 있다(정리2.5).즉, $\mathbf{b}=\mathbf{Ax}에 맞는 근사 알고리즘의 희소 $\mathbf{x}를 찾고 있다면 $\mu(\mathbf{A})의 값이 작을수록 느슨한 기준에 대한 답을 찾기 쉽다.
따라서 $\mathbf{A}의 상관성은 낮을수록 좋습니다
$$\mu(\mathbf{A}) =\sqrt{\frac{m-n}{n(m-1)}}$$
상호상간성과 하한선에 부합되는 행렬을 글래스만 행렬이라고 부른다.글래스만 매트릭스 가능한 정교 매트릭스 $n×줄을 서라고 할 수 있다.
이런 글래스만 행렬을 구축할 수 있다면문제를 해결하는 것이 편리할 것 같았지만 스파르스미링의'2.3 그랜스만 매트릭스 구축'에 그랜스만 매트릭스를 계산하는 MATLAB 코드가 있어서 파이톤으로 이식했습니다.
알고리즘 자체가 그램 매트릭스 $\mathbf{G}=\mathbf{A}^T\mathbf{A}의 큰 값을 수축한 후 SVD를 반복하여 매트릭스의 등급을 N으로 바꾸면 비대각 분량의 값이 하한선에 가까운 그램 매트릭스 $\mathbf{G}를 얻을 수 있다마지막으로 SVD 변환에서 반복적으로 처리된 그램 매트릭스 $\mathbf{G}에서 글래스만 매트릭스 $\hat{mathbf{A}를 얻었습니다.
글래스만 행렬을 구축하는 파이톤 코드는 다음 Giithub의 ipynb를 참조합니다.
https://github.com/kibo35/sparse-modeling/blob/master/ch02.ipynb
마지막으로 글래스만 대열 $\hat{mathbf{A}을 얻은 것은 이상하지만 그램 행렬에 대한 처리는 교과서와 같은 결과를 얻었다.

왼쪽 상단에 정적 분포를 위한 중복 시스템 매트릭스 $\mathbf{A}(50 줄)×100열)의 그램 행렬 $\mathbf{G} =\mathbf{A}^T\mathbf{A}달러입니다.오른쪽 상단은 10000회 반복된 그램 행렬이다.
하단의 절대값 이미지에서 볼 수 있듯이 비대각 성분의 값은 같다.

위의 그림은 모든 교체된 그램 행렬의 비대각 분량의 값을 그렸다.
한 마디로 하면 불꽃 제거의 두 번째 장에서 알 수 있듯이 불필요한 시스템 매트릭스 $\mathbf{A}의 상호 상간성 $\mu(\mathbf{A})$(그램 매트릭스의 비대각 분량의 절대값의 최대값)의 값과 이 값에서 얻은 어떤 한도값은 $L$L$보다 높다.정액에서 작은 해를 찾을 수 있다면 $\mathbf{x}달러라면 유일한 해라고 할 수 있다. 힘내자.나는 문제를 해결해 보려고 한다.