선형 시변 시스템의 쌍선형 변환

연속 시간 시스템을 이산 시간으로 전환할 때의 근사한 방법 중에는 이중 변환이라는 방법이 있다.디지털 필터를 만드는 데 사용됩니다.
자주 사용하는 기본 상태 공간 표시를 사용하여 두 번 변환을 통해 이산화하는 방법을 소개한다.
※ 본고는 두 번 바뀌는 특수한 상황을 소개한다.자세한 상황과 일반적인 변형을 알고 싶은 분들은 여기. 등을 참고하세요.

전환 방법

이중 선형 변환을 사용하여 기본 연속 시간의 선형 시변 시스템을 이산 시간 상태 공간으로 변환한다.
변형하기 전에 이쪽이야.

\left\{ \begin{eqnarray}
\dot{x} & = & Ax + Bu \\
y & = & Cx
\end{eqnarray} \right.

상태 변수는 $x이고 $y를 출력하고 $u를 입력합니다.또한 $A, $B, $C는 시간에 의존하지 않는 계수 행렬입니다.
이것을 다음 형식으로 바꾸고 싶습니다.

\left\{ \begin{eqnarray}
\hat{x}[k+1] & = & A_d \hat{x}[k] + B_d u[k] \\
y[k] & = & C_d \hat{x}[k] + D_d u[k]
\end{eqnarray} \right.

$\hat{x][k]는 이산 시간 $k의 상태 변수입니다.계수 행렬의 추가 문자 $d$는 이산 시간을 표시합니다.
이때 이산 간격을 T로 설정할 때의 변환 방법은 다음과 같다.

\begin{eqnarray}
A_d & = & \left( I + \frac{T}{2}A \right) \left( I - \frac{T}{2}A \right)^{-1} \\
B_d & = & T \left( I - \frac{T}{2}A \right)^{-1} B \\
C_d & = & C \left( I - \frac{T}{2}A \right)^{-1} \\
D_d & = & \frac{T}{2} C \left( I - \frac{T}{2}A \right)^{-1} B
\end{eqnarray} 

이상은 전환 방법입니다.

변환 예

간단한 회로를 사용하여 디지털 저통 여파기를 설계하다V_입력 전압 $V$출력 전압은 {out}달러입니다.저항 $R$R과 콘덴서 $C$C로 구성된 부분은 로우 패스 필터, $V{in} 달러의 고주파 성분(소음 등)이 감소, $V{out} 달러로 출력합니다.

회로를 흐르는 전하를 $q$$$$$$$$$$로 설정하면 회로 방정식은 다음과 같다.

\left\{ \begin{eqnarray}
V_{in} & = & R\dot{q} + \frac{1}{C}q \\
V_{out} & = & \frac{1}{C}q
\end{eqnarray} \right.

상태 변수 $q$, $V 입력{in}$, 출력 $V{out}달러 시스템이 되면

\left\{ \begin{eqnarray}
\dot{q} & = & -\frac{1}{RC}q + \frac{1}{R}V_{in} \\
V_{out} & = & \frac{1}{C}q
\end{eqnarray} \right.

이것은 미분 방정식으로 표시된 연속 시간의 상태 방정식이다.시뮬레이션은 이산 시간에 진행되기 때문에 두 번의 변환을 사용하여 이산 시간 상태 방정식으로 변형시킨다.
이전에 종합된 변환표를 참고하여 시스템의 계수를 계산할 때 다음과 같다.이산 간격은 $T입니다.

\left\{ \begin{eqnarray}
\hat{q}[k+1] & = & \frac{2RC-T}{2RC+T}\hat{q}[k] + \frac{2CT}{2RC+T}V_{in}[k] \\
V_{out}[k] & = & \frac{2R}{2RC+T}\hat{q}[k] + \frac{T}{2RC+T}V_{in}[k]
\end{eqnarray} \right.

이렇게 이산화하면 완성된다.그리고 $V.{in} 달러에 적절한 신호 데이터를 입력하고 $V{out}달러를 얻으면 낮은 바울바가 완성됩니다.

(추가) 시뮬레이션

위에서 구한 디지털 저보로다를 사용해 소음 제거를 시도했다.$V 입력{in]=\sin(2\pit)+0.3\varepsion 달러평균 0, 표준 편차가 1인 고스 소음.소음 제거한 거 알아요.

그게 다야.감사합니다.