개요

제목과 같다.
초기 값을 포함하는 단계 응답을 검증합니다.
하지만 내보내지는 않습니다.
마지막으로 Scielab로 확인합니다.
참조 사이트:
https://tajimarobotics.com/second-order-system-step-response/
http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/ControlMecha1/node15.html
http://www.fl.ctrl.titech.ac.jp/text_old/Feedback/materials/chap3.pdf

이차 시스템

G(s) = A \frac{w_n^2}{s^2 +2 \zeta wn s+w_n^2} 

2차 시스템입니다.
단계를 입력하면 결국 $A로 모입니다.

\frac{Y(s)}{U(s)} = A \frac{w_n^2}{s^2 +2 \zeta w_n s+w_n^2} \\
\therefore (s^2 +2 \zeta w_n s+w_n^2)Y(s) = A w_n^2 U(s)\\
\therefore y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) = A w_n^2 u(t)\\

반드시 만족할 것이다.

보진 응답: 감쇠 시

우선, 과감쇠 상황에서의 보진 응답은

y(t)=A \{ 1-\frac{e^{- \zeta w_n t}}{\sqrt{\zeta^2-1}} sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t + tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2-1}}{\zeta} )\}

주의는 $tan달러가 아니라 $tanh달러입니다

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) = A w_n^2 *1\\

만족 여부를 확인하다.
비록 고음량의 여현이 있지만sin/cos와 기본적으로 연산이 같다.
그렇지만

(sinh(x))' = cosh(x)\\
(cosh(x))' = sinh(x)\\

cosh의 미분은 기호 반전을 포함하지 않습니다!

a = \frac{1}{\sqrt{\zeta^2-1} }\\
b=tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2-1}}{\zeta}\\
y(t) =A-Aae^{- \zeta w_n t}sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)

으로

y'(t) = Aae^{- \zeta w_n t} \{ \zeta w_n sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) -  \sqrt{\zeta^2-1}w_n cosh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)\}\\
y''(t) = A ae^{- \zeta w_n t} \{- \zeta^2 w_n^2 sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) +  \zeta \sqrt{\zeta^2-1}w_n^2 cosh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)\\
+\zeta\sqrt{\zeta^2-1}  w_n^2 cosh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) -  (\zeta^2-1)w_n^2 sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)

\}\\

대입

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t)\\
=A ae^{- \zeta w_n t} \{
sin(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) (- \zeta^2 w_n^2 -  (\zeta^2-1)w_n^2 + 2\zeta^2 w_n^2 -w_n^2)\\
+cos(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)(+  \zeta \sqrt{\zeta^2-1}w_n^2 +\zeta\sqrt{\zeta^2-1}  w_n^2-  2\sqrt{\zeta^2-1}w_n^2 \zeta ) 

\}\\
+Aw_n^2\\
=Aw_n^2

근거

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) = A w_n^2 *1\\

만족을 확인했습니다.
의식의 흐름에서 무엇이든 볼 수 있다.
초기값이 바뀌면 $a, b$를 조정할 수 있습니다.

단계 응답: 감쇠: 초기값이 0이 아닐 때

y(t)=A \{ 1-a e^{- \zeta w_n t}  sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t + b )\}

$t=0$일 경우

y(0) = A(1-a \cdot sinh(b))\\

그리고

y'(t) = Aae^{- \zeta w_n t} \{ \zeta w_n sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) -  \sqrt{\zeta^2-1}w_n cosh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)\}\\
y'(0) = Aa\{ \zeta w_n sinh( +b) -  \sqrt{\zeta^2-1}w_n cosh( +b)\}\\

덧셈의 정리를 사용하기 위해

\gamma cosh(\beta) = \zeta w_n\\
\gamma sinh(\beta) = -  \sqrt{\zeta^2-1}w_n\\

$\zeta,\gamma달러 필요

\gamma^2 = \gamma^2(cosh^2(\beta) -sinh^2(\beta)) = (\zeta w_n)^2 - (-  \sqrt{\zeta^2-1}w_n)^2 = w_n^2 \\
\therefore  \gamma = w_n

근거

cosh(\beta) = \zeta\\
sinh(\beta) =  -  \sqrt{\zeta^2-1}\\

그래서

\beta= -tanh^{-1}  \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta}

그렇다면,

y'(0) = Aa\ w_n sinh( b -tanh^{-1}  \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta}) \\

되다
상기 두 공식

y(0) = A(1-a \cdot sinh(b))\\
y'(0) = Aa\ w_n sinh( b -tanh^{-1}  \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta}) \\

연합해서 $a, b$를 결정하면 y의 초기 값에 맞는 해를 얻을 수 있습니다.

단계 응답:과감쇠:초기값이 0일 때

$y'(0)=0$

sinh(b-tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta} )  = 0\\
\therefore b = tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta}\\

$y(0)=0$

1= a \cdot sinh(b)\\
\therefore a = 1/sinh(tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta})\\

여기는 일반적인 삼각함수와 다르기 때문에 매우 큰 관계가 있다

tanh(\phi)=b/a

그때

sinh(\phi) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

아닙니다. 삼각함수입니다. 그럼 $b/a를 줄 때 $sinh (\phi) 달러는 어떻게 됩니까?

1-tanh^2 = \frac{1}{cosh^2}\\
\therefore cosh^2 = \frac{1}{1-tanh^2} = \frac{a^2}{a^2-b^2}\\
\therefore 1+sinh^2 = \frac{1}{1-tanh^2} \\
\therefore sinh^2 = \frac{1}{1-tanh^2} -1 = \frac{b^2}{a^2-b^2}\\

따라서 노선을 취득할 때wiki의 도표를 보면 이해할 수 있다.

sinh(\phi) = \frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}

뿌리 안의 부호가 변했다.
그래서

1= a \cdot sinh(b)\\
\therefore a = 1/sinh(tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta})\\
\therefore a = \frac{1}{\sqrt{\frac{\zeta^2-1}{\zeta^2 -(\zeta^2-1)} }}\\
 =\frac{1}{\sqrt{\zeta^2-1}}

y(t)=A \{ 1-\frac{1}{\sqrt{\zeta^2 -1}}  e^{- \zeta w_n t}  sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t + tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta} )\}

보진 응답: 진동 감소 시

y(t) = A\{1- a e^{- \zeta w_n t}  sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )\}

인증

y'(t) = Aae^{- \zeta w_n t} \{\zeta w_n sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b ) - \sqrt{1-\zeta^2} w_n cos(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )\} \\


y''(t) = Aae^{- \zeta w_n t} \{-\zeta^2 w_n^2 sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b ) + \sqrt{1-\zeta^2} \zeta w_n^2 cos(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )\\
+\zeta w_n \sqrt{1-\zeta^2} w_n cos(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b ) + \sqrt{1-\zeta^2} w_n \sqrt{1-\zeta^2} w_nsin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )\} \\

근거

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t)\\
=A ae^{- \zeta w_n t} \{
sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )  (-\zeta^2 w_n^2+ \sqrt{1-\zeta^2} w_n \sqrt{1-\zeta^2} w_n+2\zeta^2 w_n^2 -w_n^2)\\
+cos(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b ) (+ \sqrt{1-\zeta^2} \zeta w_n^2+\zeta w_n \sqrt{1-\zeta^2} w_n - 2\sqrt{1-\zeta^2} \zeta w_n^2)
\}\\
+A w_n^2\\
=A w_n^2\\

따라서 미분방정식을 충족시키는 것을 확인할 수 있다.

단계 응답:감쇠진동:초기값 0시

y(t) = A\{1- a e^{- \zeta w_n t}  sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )\}

더.

y(0) =A(1-asin(b))\\
y'(0) = Aaw_nsin(b-tan^{-1} \frac{\sqrt{1-\zeta^2 }}{\zeta})\\

근거

b=tan^{-1} \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\\
a=1/sin(b)\\
=\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}

근거

y(t) = A\{1- \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}} e^{- \zeta w_n t}  sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + tan^{-1} \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} )\}

되다

Scielab로 검증

과감쇠

w_n = 1\\
\zeta = 1.2\\
A=1\\

2단계 응답 계산
1.

y(t)=A \{ 1-\frac{1}{\sqrt{\zeta^2 -1}}  e^{- \zeta w_n t}  sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t + tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta} )\}

scilab의csim

사용

y''(t) +2 \zeta w_n y(t)'+w_n^2y(t) = A w_n^2 u(t)\\

상태 방정식

\dot{x} = 
 \left(
    \begin{array}{ccc}
      -2\zeta w_n &-w_n^2\\
1&0\\
    \end{array}
  \right)
x +
 \left(
    \begin{array}{ccc}
   Aw_n^2\\
0\\
    \end{array}
  \right)
u(t)\\
y= \left(
    \begin{array}{ccc}
     0&1\\
    \end{array}
  \right)

네.

결실

완전 똑같아요.

절차.

clear();
for i = 1:10 do
    close
end

zeta = 1.2
wn = 1
a = 1

A=[-2*zeta*wn -1*wn^2
1 0]

B=[a*wn^2
0]

C=[0 1]
D=[0]

x0=[0
0]

sl = syslin('c',A,B,C,D,x0);


t=0:0.01:10;
y=csim('step',t,sl)

y2= diag(a*(1- 1/sqrt(zeta^2-1) *exp(-zeta*wn*t')*sinh(sqrt(zeta^2-1)*wn*t+atanh(sqrt(zeta^2-1)/zeta) ) ))
clf();
plot(t,y);
figure();
plot(t,y2);

y'로 출력할 때

과감쇠

y(t) =A \{ 1-ae^{- \zeta w_n t}sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) \}\\
y'(t) = Aae^{- \zeta w_n t}\{ \zeta w_n sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b)  - \sqrt{\zeta^2-1} w_n cosh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b) \}\\
=Aae^{- \zeta w_n t} w_n sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b -tanh^{-1} \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta} ) 

단, $a, b$는 아래의 초기값에 의해 결정된다

y(0) = A(1-a \cdot sinh(b))\\
y'(0) = Aa\ w_n sinh( b -tanh^{-1}  \frac{\sqrt{\zeta^2 -1}}{\zeta}) \\

모든 초기 값이 0인 경우

y'(t) = A \frac{1}{\zeta^2-1}e^{- \zeta w_n t} w_n sinh(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t ) 

위상 항목은 0입니다.

감쇠진동

y(t) = A\{1- a e^{- \zeta w_n t}  sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t + b )\}\\
y'(t) = Aae^{- \zeta w_n t} w_n sin(\sqrt{\zeta^2-1} w_n t +b -tan^{-1} \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} ) 

단, $a, b$는 아래의 초기값에 의해 결정된다

y(0) =A(1-asin(b))\\
y'(0) = Aaw_nsin(b-tan^{-1} \frac{\sqrt{1-\zeta^2 }}{\zeta})\\

모든 초기 값이 0인 경우

y'(t) = A \frac{1}{1-\zeta^2}e^{- \zeta w_n t} w_n sin(\sqrt{1-\zeta^2} w_n t ) 

마찬가지로 위상 항목은 0입니다.

감상

쌍곡선 함수를 삼각함수로 간주하여 절대 계산 처리를 할 수 없습니다!!!
아무리 노력해도 안 맞아서 고민이에요. 다 하이파이 계산을 오해했기 때문이에요.