신장트리(Spanning Tree)?

최소신장트리 - MST?

MST 알고리즘

1. Kruskal 알고리즘
2. Prim 알고리즘

신장트리(Spanning Tree)?

그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리
= 그래프의 최소 연결 부분 트리!
= 그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리
=> 그렇기 때문에 간선 수가 가장 적다 : n-1개

하나의 그래프에 많은 신장트리가 존재할 수 있다.
꼭 지켜져야 할 것 : 모든 정점들이 연결, 싸이클을 포함하면 안된다
DFS, BFS를 이용해 신장트리 찾기 가능

신장트리
신장트리X

최소신장트리 - MST?

Minimum Spanning Tree
간선의 가중치를 고려해서 최소 비용의 신장 트리를 선택하는 것!

• 간선의 가중치의 합이 최소
• 반드시 간선이 n-1 (신장트리니까요~)
• 싸이클이 없어야한다(신장트리니까요~22)

MST 알고리즘

두 가지 : Kruskal 알고리즘 / Prim 알고리즘

1. Kruskal 알고리즘

• MST가 최소비용의 간선 / 싸이클X에 근거해 각 단계에서 싸이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택 : 이전단계에서 만든 신장트리와 상관없이 무조건 최소 간선 선택
• 탐욕적인 방법 : 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답 구하기
• 간선의 개수가 적을 때 유리
• 간선위주 : 간선을 기준으로 정렬하는 과정이 오래걸림(sort)
• 시간복잡도 : O(ElogE) = O(ElogV^2) = O(2*ElogV) = O(ElogV)
  
  

동작 원리

1. 모든 간선들의 가중치를 오름차 순으로 정렬
2. 가중치가 가장 작은 간선을 선택
3. 위에서 선택한 간선이 연결하려는 2개의 노드가 서로 연결되지 않은 상태라면, 2개의 노드를 서로 연결한다.
4. 이 과정을 반복
   

2. Prim 알고리즘

• 시작 정점에서부터 출발해 신장트리의 집합을 단계적으로 확장 : 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장
• 간선의 개수가 많을 때 유리
• 정점위주
• 시간복잡도 : O(ElogE) = O(ElogV)
  
  

동작 원리

1. 임의의 간선을 선택
2. 선택한 간선의 정점으로부터 가장 낮은 가중치를 갖는 정점을 선택
3. 모든 정점이 선택될 때까지 반복