2 급 상계 수 이차 선형 미분 방정식 의 통 해

2 급 상계 수 이차 선형 미분 방정식 의 통 해
* 본 고 는 많은 증명 을 생략 하고 결론 만 기록 했다. * 글 에서 의 미분 방정식 은 모두 2 단계 상계 수 선형 미분 방정식 을 가리킨다.
2 단계 상계 수 이차 선형 미분 방정식 의 형식 은 다음 과 같다.

								 ay″+by′+c=0

2 급 선형 미분 방정식 이기 때문에 두 개의 해 가 있 는데 y1, y2 로 기록 된다. 만약 에 y1 / y2 ≠ C (즉, 두 개의 해 의 비례 가 상수 가 아니 라) 는 y1, y2 선형 과 무관 하 다 면 미분 방정식 의 통 해 는 다음 과 같다.

									y=C1y1+C2y2

우 리 는 미분 방정식 의 특징 방정식 을 통 해 미분 방정식 의 두 가지 해 를 계산 할 수 있다. 미분 방정식 에 대해:

									 ay″+by′+cy=0

그것 의 특징 방정식 은 다음 과 같다.
a r 2 r^2 r2+br+c=0
(미분 방정식 의 n 단계 도 는 특징 방정식 의 n 차 멱 에 대해) 미분 방정식 의 특징 방정식 을 쓴 후에 구 근 공식 으로 특징 방정식 의 해 를 구 할 수 있다. r 1, 2 r{1,2} r1,2​= − b ± Δ 2 a \frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} 2a−b±Δ ​​，Δ= b 2 b^2 b2−4ac
다음 상황 별 토론: ① 당Δ>0Δ>0 시, r1, r2 는 두 개의 서로 다른 실근 이다
r 1 = − b + Δ 2 a r_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} r1​=2a−b+Δ ​​ r 2 = − b − Δ 2 a r_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} r2​=2a−b−Δ ​​
미분 방정식 의 통 해 는 다음 과 같다.
y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x} y=c1​er1​x+c2​er2​x
② 당Δ=0Δ=0 시, r1, r2 는 두 개의 똑 같은 실근 이다.
r 1 = r 2 = − b 2 a r_{1}=r_{2}=-\frac{b}{2a} r1​=r2​=−2ab​
미분 방정식 의 통 해 는 다음 과 같다.
y = ( c 1 + c 2 x ) e r x y=\left ( c_{1}+c_{2} x\right )e^{rx} y=(c1​+c2​x)erx
* * ③ 땡Δ<0Δ<0 시, r 1 r{1} r1​、 r 2 r_{2} r2 는 공 액 복 근 이다.
r 1 r_{1} r1​=α+βi， r 2 r_{2} r2​=α−βi
그 속
α = − b 2 a \alpha =-\frac{b}{2a} α=−2ab​ , β = − Δ 2 a \beta =\frac{\sqrt{-\Delta }}{2a} β=2a−Δ ​​
미분 방정식 의 통 해 는 다음 과 같다.
y = ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x ) e a x y=\left ( c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x \right )e^{ax} y=(c1​cosβx+c2​sinβx)eax
다음으로 전송:https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79687977 그 중에서 수학 공식 을 쓰 는 것 도 나 에 게 많은 시간 을 들 였 기 때문에 여기 서 공식 전환 공식 을 열거 하고 공식 전후 에 두 개의 $만 더 하면 된다.공식 변환 주소:https://private.codecogs.com/latex/eqneditor.php