배경

지난번 ( 【놀이의 통계학】시험에서 편차치 60 이상의 인원수의 비율을 마르코프의 부등식으로 조사해 본다 )은 마르코프의 부등식으로 놀았습니다. 이번에는 체비 셰프의 부등식으로 놀아요.

체비셰프 부등식

체비셰프의 부등식은

P(|X-\mu|\geq c) \leq \sigma^2/c^2

에서 주어집니다. 이것도 마르코프의 부등식과 같거나(또는 마르코프의 부등식의 특수형), 이상치가 어느 정도 있는가를 설명할 수 있습니다. 대수의 법칙의 증명으로 유명하네요.

체비셰프 부등식으로 신뢰 구간 구성

$1-\alpha$ 신뢰 구간은

P(X_L(\{x\}) < \mu< X_R(\{x\})) \geq 1-\alpha

를 만족하는 구간으로 정의됩니다. 무무무, 체비 셰프의 부등식을 사용할 수 있을 것 같다.
표본 평균에서 모 ​​평균을 추정한다고 가정합니다. Chebyshev 부등식을 통계 $\bar X_n$에 적용합니다. 이상값이 $\alpha$ 이하가 되도록 하면 되므로,

P(|\bar X_n-\mu|\geq c) \leq \frac{\sigma^2}{nc^2}=\alpha

그러면 $\mu\pm c$로 둘러싸인 범위가 신뢰 구간이 됩니다. $2c$에 대해 풀면

2c = \frac{2\sigma}{\sqrt{n\alpha}}

됩니다.
포아송 분포에서 샘플링하여 $\lambda=3$를 추정합니다. $\alpha=0.05$라고 가정합니다. gnuplot으로 그래프화합니다.

gnuplot> plot [1:100] 2*sqrt(3.)/sqrt(x*0.05)

실제로는 $\sigma^2=\lambda$는 미지이므로, 불편 분산등을 이용해야 합니다만 큰 봐 주세요.
이전( 【구간 추정】신뢰 구간의 해석, 구성법에 대해서 수치 실험해 본다 ) 했던 정공법의 신뢰 구간과 비교해 보겠습니다($n=100$).

대체로 구간 폭이 0.8 정도입니까? 체비셰프의 부등식에 의한 결과가 1.6 정도이므로 대체로 2배가 되고 있습니다.

감상

생각했던 만큼 나쁘지 않은 결과라고 생각했습니다. 체비셰프의 부등식은 대수의 법칙의 증명으로 유명하다고 썼습니다만, 이번 내용은 거의 그대로입니다. $\alpha$를 작게 하고 $n$를 크게 하고, 같은 일을 하면 모평균에 얼마든지 가까워지는 것을 직감적으로도 알 수 있다고 생각합니다. 쓰고있는 도중에 기시감 바리 바리였습니다 (웃음).