스프링 낙하

htps : // 라고 해서 r. 코 m / 이부 부츠 / s 타츠 s / 1125581991645081600
↑ 이 링크에 있는 스프링의 낙하의 화상이 재미 있었기 때문에 생각해 보았다. 재미있는 점은 "손을 놓은 후 잠시 동안 스프링의 하단이 멈춰 보인다"는 것이다. 나는 이것은 "스프링으로 연결된 2개의 질점을 매달아 손을 떼었을 때 아래쪽 질점의 운동"으로 근사할 수 있다고 생각했다. 스프링의 하단이 멈추어 보이는 것은

스프링 무게 중심의 자유 낙하

그리고

스프링의 하단이 탄성력으로 무게 중심으로 끌리는 운동

하지만 무시하고 일어나는 일이라고 생각했기 때문이다.

그림과 같이 2개의 질량 m의 질점이 자연 길이 $l$로 스프링 정수 $k$의 스프링에 연결되고, 위의 질점이 고정되어 균일한 중력(하향으로 중력 가속도 $-g$)로 당겨진다. 하고 균형을 잡고 있다고 한다. 이 때 스프링의 성장은 $mg=kx_0$에서 결정되기 때문에 $x_0=\frac{mg}{k}$로 주어진다. 손을 뗀 후 스프링의 하단은 ($x$ 좌표를 위의 질점의 초기 위치 원점으로 하고 수직 상향으로)
$$
x = -l -\frac{1}{2} g t^2 -\frac{x_0}{2}\cos(\omega t)
$$
로 낙하한다(단진동의 진폭이 반으로 되어 있는 것은 중심(=2개의 질점의 중점)으로부터 아래의 질점까지의 거리는 질점간의 거리의 절반이므로). $\omega =\sqrt{\frac{k}{\mu}}$ ($\mu =\frac{m}{2}$는 변환 질량)이다. 양쪽을 $x_0$로 나누고 $x_0=\frac{mg}{k}$를 넣으면
$$
\frac{x}{x_0} = -\frac{l}{x_0} -\frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{m}\right)\omega^2 t^2 -\frac{1}{2}\cos (\omega t)(1)
$$
을 얻는다. $\cos\omega t\simeq 1 -\frac{1}{2}\omega^2 t^2 +\frac{1}{24}\omega^4 t^4$를 넣으면
$$
\frac{x}{x_0} -\simeq\frac{l+x_0}{x_0} +\frac{1}{48} (\omega t)^4
$$
가 되어 하단은 ($t^2$의 오더에서는) 낙하하지 않는 것을 알 수 있다.

그림은 세로축을 변위($x_0=1$라고 하는 스케일)로 가로축을 $\omega t$로 했을 때의 (1)식이다(단, 간단을 위해 $l=0$로 했다). $wt=\pi\simeq 3.28$(즉, 반주기)의 범위에서는 거의 하단은 움직이지 않는다. 실제로는 스프링이 줄어든 곳에서 상단과 부딪쳐 버리는 것이겠지만, 비디오에서 스프링이 줄어들 때까지 하단이 멈추어 보이는 것은 이 때문이라고 생각한다.

그래서이 재미있는 비디오는

「스프링으로 연결된 2개의 질점을 매달아 손을 떼었을 때의 하부 질점의 운동」으로 근사할 수 있다

괜찮다고 생각한다. 의견을 기다리겠습니다! (계산 실수 등 지적 잘 부탁드립니다!)