가우스 혼합 모델 (GMM) 의 실현 과 시각 화

고 스 분포 공식 및 이미지 예시

고 스 분포 확률 밀도 열력 도

고 스 혼합 모델 실현 코드

고 스 혼합 모델 클 러 스 터 효과 도

참고 문헌

저자: 김 량[email protected]) csdn 블 로그:http://blog.csdn.net/u012176591
정리 할 코드 파일 과 데 이 터 를 이동 하 십시오.http://download.csdn.net/detail/u012176591/8748673
1. 가우스 분포 공식 및 이미지 예제
D - 차원 연속 공간의 고 스 분포 확률 밀 도 를 정의 하 는 표현 식 N (x |μ,Σ)=1(2π)D/21|Σ|1/2exp{−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}
그 등고선 이 형성 하 는 형상 과 협 방 차 행렬Σ 밀접 한 관 계 를 가진다. 다음 과 같이 뒤의 코드 에는 각 이미지 에 대응 하 는 고 스 분포 의 매개 변수 가 있다.

2. 가우스 분포 확률 밀도 열력 도
코드 는 다음 과 같 습 니 다:

fig,axes = plt.subplots(nrows=3,ncols=1,figsize=(4,12))

#     
mean = [0,0]
cov = [[1,0],
       [0,1]] 
x,y = np.random.multivariate_normal(mean,cov,5000).T
axes[0].plot(x,y,'x')
axes[0].set_xlim(-6,6) 
axes[0].set_ylim(-6,6) 

#   ，          
mean = [0,0]
cov = [[0.5,0],
       [0,3]] 
x,y = np.random.multivariate_normal(mean,cov,5000).T
axes[1].plot(x,y,'x')
axes[1].set_xlim(-6,6) 
axes[1].set_ylim(-6,6) 

#   ，               
mean = [0,0]
cov = [[1,2.3],
       [2.3,1.4]] 
x,y = np.random.multivariate_normal(mean,cov,5000).T
axes[2].plot(x,y,'x'); plt.axis('equal')
axes[2].set_xlim(-6,6) 
axes[2].set_ylim(-6,6) 

우 리 는 아래 의 고 스 혼합 모델 에서 세 번 째 협 방 차 행렬, 즉 확률 밀도 의 등고선 은 타원 이 고 축방향 은 반드시 좌표 축 과 평행 하지 않다.
다음 그림 은 고 스 밀도 함수 의 열 그림 입 니 다.

다음은 작도 코드 입 니 다.

#                 
def gaussian(x,mean,cov):    
    dim = np.shape(cov)[0] #  
    covdet = np.linalg.det(cov+np.eye(dim)*0.01) #       
    covinv = np.linalg.inv(cov+np.eye(dim)*0.01) #       
    xdiff = x - mean
    #    
    prob = 1.0/np.power(2*np.pi,1.0*2/2)/np.sqrt(np.abs(covdet))*np.exp(-1.0/2*np.dot(np.dot(xdiff,covinv),xdiff))

    return prob


#               
mean = [0,0]
cov = [[1,2.3],
       [2.3,1.4]] 
x,y = np.random.multivariate_normal(mean,cov,5000).T
cov = np.cov(x,y) #               ，         
n=200
x = np.linspace(-6,6,n)
y = np.linspace(-6,6,n)
xx,yy = np.meshgrid(x, y)
zz = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        zz[i][j] = gaussian(np.array([xx[i][j],yy[i][j]]),mean,cov)

gci = plt.imshow(zz,origin='lower') #   origin='lower'   tuixan    
plt.xticks([5,100,195],[-5,0,5])
plt.yticks([5,100,195],[-5,0,5])
plt.title(u'        ',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

3. 가우스 혼합 모델 실현 코드:
다음은 몇 가지 기능 함수 로 주 함수 에서 호출 되 었 습 니 다.

#       ，
#     array  ，       
def gaussian(x,mean,cov):

    dim = np.shape(cov)[0] #  
    #                  0   
    covdet = np.linalg.det(cov+np.eye(dim)*0.01) #         
    covinv = np.linalg.inv(cov+np.eye(dim)*0.01) #       
    xdiff = x - mean
    #    
    prob = 1.0/np.power(2*np.pi,1.0*dim/2)/np.sqrt(np.abs(covdet))*np.exp(-1.0/2*np.dot(np.dot(xdiff,covinv),xdiff))
    return prob


#         
def getconvs(data,K):
    convs = [0]*K
    for i in range(K):
        #                      ，              
        convs[i] = np.cov(data.T)  
    return convs


def isdistinct(means,criter=0.03): #             
    K = len(means)
    for i in range(K):
        for j in range(i+1,K):
            if criter > np.linalg.norm(means[i]-means[j]):
                return 0       
    return True
#        
def getmeans(data,K,criter):
    means = [0]*K
    dim  = np.shape(data)[1]
    minmax = [] #          
    for i in range(dim):
        minmax.append(np.array([min(data[:,i]),max(data[:,i])]))

    while True:
        #        
        for i in range(K):
            means[i] = []
            for j in range(dim):
                means[i].append(np.random.random()*(minmax[j][1]-minmax[j][0])+minmax[j][0])  
            means[i] = np.array(means[i])

        if isdistinct(means,criter):
            break  
    return means

# k-means       。
# K-means         ，           
def kmeans(data,K):
    N = np.shape(data)[0]#    
    dim = np.shape(data)[1] #  

    means = getmeans(data,K,criter=15)
    means_old = [np.zeros(dim) for k in range(K)]


    while np.sum([np.linalg.norm(means_old[k]-means[k]) for k in range(K)]) > 0.01:

        means_old = cp.deepcopy(means)

        numlog = [0]*K
        sumlog = [np.zeros(dim) for k in range(K)]
        for n in range(N):
            distlog = [np.linalg.norm(data[n]-means[k]) for k in range(K)]
            toK = distlog.index(np.min(distlog))

            numlog[toK] += 1
            sumlog[toK] += data[n]

        for k in range(K):
            means[k] = 1.0/numlog[k]*sumlog[k]
    return means

#          ，     K   2，         
def visualresult(data,gammas,K):
    N = np.shape(data)[0]#    
    dim = np.shape(data)[1] #  

    minmax = [] #          
    xy = []
    n=200
    for i in range(dim):
        delta = 0.05*(np.max(data[:,i])-np.min(data[:,i]))
        xy.append(np.linspace(np.min(data[:,i])-delta,np.max(data[:,i])+delta,n))
    xx,yy = np.meshgrid(xy[0], xy[1])
    zz = np.zeros((n,n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            zz[i][j] = np.sum(gaussian(np.array([xx[i][j],yy[i][j]]),means[k],convs[k]) for k in range(K))
    gci = plt.imshow(zz,origin='lower',alpha = 0.8) #   origin='lower'   tuixan    
    plt.xticks([0,len(xy[0])-1],[xy[0][0],xy[0][-1]])
    plt.yticks([0,len(xy[1])-1],[xy[1][0],xy[1][-1]])

    for i in range(N):
        if gammas[i][0] >0.5:
            plt.plot((data[i][0]-np.min(data[:,0]))/(xy[0][1]-xy[0][0]),(data[i][1]-np.min(data[:,1]))/(xy[1][1]-xy[1][0]),'r.')
        else:
            plt.plot((data[i][0]-np.min(data[:,0]))/(xy[0][1]-xy[0][0]),(data[i][1]-np.min(data[:,1]))/(xy[1][1]-xy[1][0]),'k.')

    deltax = xy[0][1]-xy[0][0]
    deltay = xy[1][1]-xy[1][0]

    plt.plot((means[0][0]-xy[0][0])/deltax,(means[0][1]-xy[1][0])/deltay,'*r',markersize=15)
    plt.plot((means[1][0]-xy[0][0])/deltax,(means[1][1]-xy[1][0])/deltay,'*k',markersize=15)

    plt.title(u'       ',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

가우스 혼합 모델 의 주 함수

N = np.shape(data)[0]#    
dim = np.shape(data)[1] #  
K = 2 #      

means = kmeans(data,K)

convs = getconvs(data,K)

pis = [1.0/K]*K
gammas = [np.zeros(K) for i in range(N)] #*N       *N，  N array       

loglikelyhood = 0
oldloglikelyhood = 1

while np.abs(loglikelyhood - oldloglikelyhood)> 0.0001:
    oldloglikelyhood = loglikelyhood


    # E_step
    for n in range(N):
        respons = [pis[k]*gaussian(data[n],means[k],convs[k]) for k in range(K)]

        sumrespons = np.sum(respons)
        for k in range(K):
            gammas[n][k] = respons[k]/sumrespons

    # M_step
    for k in range(K):
        nk = np.sum([gammas[n][k] for n in range(N)])
        means[k] = 1.0/nk * np.sum([gammas[n][k]*data[n] for n in range(N)],axis=0)

        xdiffs = data - means[k]
        convs[k] = 1.0/nk * np.sum([gammas[n][k]*xdiffs[n].reshape(dim,1)*xdiffs[n] for n in range(N)],axis=0)
        pis[k] = 1.0*nk/N

    #        
    loglikelyhood =np.sum( [np.log(np.sum([pis[k]*gaussian(data[n],means[k],convs[k]) for k in range(K)])) for n in range(N) ])
    #print means
    #print loglikelyhood
    #print '=='*10

visualresult(data,gammas,K)

4. 가우스 혼합 모델 클 러 스 터 효과 도

5. 참고 문헌:

K - means 집합 과 EM 사상http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006910.html

(EM 알고리즘) EM 알고리즘http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html

의사 결정 트 리 에서 베 이 루스 분류 알고리즘, EM, HMM 에 대해 배 웠 다.http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7577684

EM 알고리즘 학습 (기대 극 대화 알고리즘)http://www.vjianke.com/XUHV3.clip

EM 알고리즘 - 이론 과 응용http://blog.sina.com.cn/s/blog_a8fead9b01014p6k.html

EM 알고리즘 의 간단 한 예http://blog.sina.com.cn/s/blog_a7da5cda010158b3.html

고 스 혼합 모델 (GMM)http://www.cnblogs.com/mindpuzzle/archive/2013/04/24/3036447.html

고 스 혼합 모델http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2624882.html

CS 229 강의 노트, Andrew Ng 강의http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes7b.pdf

https://github.com/lzhang10/maxent/blob/master/doc/manual.pdf

http://nlp.stanford.edu/software/classifier.shtml

https://github.com/juandavm/em4gmm 최대 기대 알고리즘 으로 고 스 혼합 모델 을 풀 고 dat 폴 더 의 압축 파일 은 데이터

입 니 다.

http://insideourminds.net/python-unsupervised-learning-using-em-algorithm-implementation/ Python 이 실현 하 는 기대 최대 화 알고리즘, 데 이 터 는 아이 리 스 데이터