Julia에서 배우는 확률 변수 (1) - 확률 변수 정의 - Qiita
Julia에서 배울 확률 변수 (11) - 요약 - Qiita

확률 변수를 공부중입니다만, 「확률 통계」(모리키타 출판)는 수학적으로 명확한 정의가 확실히 쓰여져 있으므로, 이것을 중심으로 공부하고 있습니다. 아울러 「통계학 입문」(도쿄대학 출판회)과 「확률론 입문」(치쿠마학예문고, 아카야야)도 병독하고 있습니다.

본 기사는, 그 교과서를 읽으면서, 실제로 예제나 문제를 Julia로 풀어나가려는 시도입니다. Julia의 이산형 확률 변수 라이브러리 문서입니다. ==> Distributions/Univariate/DiscreteDistributions

1. 기하학적 분포 Ge(p)

성공의 확률은 p의 시도를 생각합니다. 여러 번 반복하여 k회 연속해서 실패하고 (k+1)번째에 처음 성공할 확률을 생각합니다. 그 때의 확률은 이하의 확률밀도함수 f(k)로 계산됩니다.

\begin{align}
&\Omega:標本空間、　E:事象\\
&p \equiv p(E) とする。\\
\\
&確率変数Xを以下のように定義する。\\
\\
&X : \Omega^{(\infty)} \rightarrow \{0,1,...,i,...\}\\
&X(\{a_1,a_2,...,a_i,...\}) = k \\
&where \quad a_i \in E \;for \;all \;i \leqq k \quad and \quad a_{k+1} \in E^c\\
\\
&確率密度関数は以下のようになります。\\
&f(k) = p(\{X=k\}) = p(1-p)^k
\\
\\
&*** 無限級数の和の公式より、\sum_{k=0}^\infty f(k) =1\\
\\
&***kが0始まりと、1始まりの定義がありますが、Juliaのドキュメントの0にあわせた。\\
&***kが0始まり \rightarrow kは連続失敗の回数、(k+1)回目に初めて成功\\
&***kが1始まり \rightarrow (k-1)は連続失敗の回数、k回目に初めて成功\\
\\
&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad   \qquad \\
\end{align}

기하학적 분포의 평균과 분산을 보여줍니다.

\begin{align}
\\
&平均\\
&E[X] = \frac{1-p}{p}\\
\\
&分散\\
&V[X] = \frac{1-p}{p^2}\\
\\
&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad  \qquad \qquad\\
\end{align}

매우 간단합니다. 이것을 정의에서 파생시키기 위해서는 약간의 계산이 필요합니다.
자세한 내용은 「기하 분포의 구체예와 기대치, 무기억성에 대해 - 고교 수학의 아름다운 이야기」을 참조하십시오. 그건 그렇고, 여기에서 설명을 읽을 때 다음과 같은 사실에 유의하십시오.

\begin{align}
&|x| < 1の時、以下が成り立つ。\\
&\lim_{n \to \infty} x^n = 0
&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \\
\end{align}

기하급수의 평균은 간단합니다. 이것은 다음을 의미합니다.

\begin{align}
&p \equiv 成功する確率\\
&q \equiv 1-p = 失敗する確率\\
\\
&k=0:1回目に成功する確率。pq^0 \\
&k=1:1回連続して失敗し、2回目に成功する確率。 pq^1\\
&k=2:2回連続して失敗し、3回目に成功する確率。pq^2\\
&k=3:3回連続して失敗し、4回目に成功する確率。pq^3\\
&...\\
&k=n:n回連続して失敗し、(n+1)回目に成功する確率。pq^n\\
&...\\
\\
&これを k \rightarrow \infty まで繰り返します。\\
\\
&この時の平均値は、何回繰り返せば成功するかの回数の平均値を示してくれます。\\
&ちなみに\sum_{k=0}^\infty f(k) =1 ですから、無限に繰り返せば必ず成功するのはわかっています。\\

&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \\
\end{align}

1-1. 기하 분포를 당첨으로 표현하면

確率密度関数f(k)は、当たる確率がpのくじを繰り返し引いたときに、
(k+1)回目にはじめて当たりを引く確率を表します。

1-2. Julia에서 예제를 풀어보십시오.

Julia에서는 Distributions.Geometric을 사용합니다.

맞는 확률이 1/10의 복권을 반복해서 당길 때, 몇 번 정도 당기면 당첨이 나오는 것처럼 느껴질까?

\begin{align}
&E[X] = \frac{1-p}{p} = 9\\
\\
&つまり連続して9回失敗し、10回目に当たるのが期待値です。
\\
\\
&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad\\
\end{align}

확률 밀도 함수를 플롯합니다.
(주의) Julia에서는 f.(A)라는 구문으로 배열 A의 요소마다 함수 f를 적용할 수 있습니다. pdf가 아니라 pdf.라는 것을 유의하십시오.

d=Geometric(1/10)
plot(1:50, pdf.(d,1:50), seriestype=:scatter)

이번은 이상입니다.