fibonacci 수열의 성질(ZOJ3707)

제목: Calculate Prime S
 
제목:
Define S[n] as the number of subsets of {1, 2, ...,n} that contain no consecutive integers. For eachS[n], if for alli (1 ≤i < n) gcd(S[i],
S[n]) is 1, we call thatS[n] as aPrime S. Additionally,S[1] is also a Prime S. For theKth minimumPrime S, we'd like to find the
minimum S[n] which is multiple ofX and not less than theKth minimumPrime S. Please tell us the corresponding (S[n] ÷X) modM.
 
fibonacci 수열의 성질:
1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))
증명: 반증법을 통해fibonacci수열의 임의의 인접 두 항목의 일정한 상호작용을 먼저 증명한 다음에 n>m시 gcd(fib(n),fib(m)=gcd(fib(n-m),fib(m)를 증명할 수 있으며, 귀속 가능
gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l))를 구하고, 마지막 k=l를 구하지 않으면 계속 귀속합니다.K는 회전상감법으로 구하여 k=gcd(n,m)를 증명하기 쉽기 때문에 gcd(fib(n),fib(m)
=fib(gcd(n,m)).
 
2.fib(k)가 x에 의해 제거될 수 있다면,fib(k*i)는 모두 x에 의해 제거될 수 있다.
3.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
4.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
5.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
6.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
7.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
8.f(n+m)=f(n+1)·f(m)+f(n)*f(m-1)
9.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
10.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
11.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
12.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1, 그리고 n≥1]
 
또 하나의 결론은
계산(a/b)%c 그중 b는 a를 제거할 수 있다
만약 b와 c가 상호작용을 한다면, (a/b)%c=a*b^(phi(c)-1)%c
만약 b와 c가 서로 어울리지 않는다면, (a/b)%c=(a%bc)/b
b와 c의 상호작용과 상호작용은 모두 (a/b)%c=(a%bc)/b가 성립된다
 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=16000000;

LL p[N];
bool prime[N];
LL k=1;

void isprime()
{
    LL i,j;
    p[0]=1;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(i=2;i<N;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[k++]=i;
            for(j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                prime[j]=false;
            }
        }
    }
    p[1]=3;p[2]=4;
}

typedef struct
{
    LL m[2][2];
}Matrix;

Matrix per={1,0,0,1};
Matrix a={1,1,1,0};

Matrix multi(Matrix a,Matrix b,LL MOD)
{
    Matrix c;
    LL i,j;
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            c.m[i][j]=0;
            for(k=0;k<2;k++)
            {
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
                c.m[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix matrix_mod(LL k,LL MOD)
{
    Matrix p=a,ans=per;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            ans=multi(ans,p,MOD);
            k--;
        }
        k>>=1;
        p=multi(p,p,MOD);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    LL K,X,M,t,i,ret,r;
    isprime();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&K,&X,&M);
        Matrix ans;

        for(i=p[K];;i++)
        {
            ans=matrix_mod(i-1,X);
            if((ans.m[0][0]%X==0))
            {
                r=i;
                break;
            }
        }
        ans=matrix_mod(i-1,M*X);
        ret=ans.m[0][0]/X;
        printf("%lld
",ret);
    }
    return 0;
}