POJ 1845-Sumdiv[고전 수학 문제---인자 구 합]

전재 출처 를 밝 혀 주 십시오:http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539
유유  http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1309237394
 
대체로 제목:
A^B 의 모든 약수(즉 인자)의 합 을 구하 고 모델 9901 을 추출 하여 출력 합 니 다.
 
문제 풀이 방향:
수학 적 사유 가 비교적 강 한 문 제 를 요구 하 다
응용 정 리 는 주로 세 가지 가 있다.
수학 적 사유 가 비교적 강 한 문 제 를 요구 하 다
응용 정 리 는 주로 세 가지 가 있다.
（1）   정수 의 유일한 분해 정리:
      임의의 정수 가 있 고 하나의 방식 으로 그 소인자 의 곱셈 표현 식 을 쓸 수 있다.
      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   그 중 pi 는 모두 소수 이다
（2）   약수 와 공식:
분 해 된 정수 A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*...*(pn^kn)
A 가 있 는 모든 인자 의 합 은?
    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)
（3）   동 여 모 공식:
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
(a*b)%m=(a%m*b%m)%m
 
위의 수학 기초 가 있 으 면 본 문제 의 해법 은 매우 간단 하 다.
1:A 에 대해 소인 자 분 해 를 진행한다
A 분해 방법:
A.먼저 첫 번 째 소수 2 에 대해 끊임없이 모델 링 을 하고 A%2==0 시 2 에 나타 난 횟수+1,A/=2 를 기록한다.
A%2!=0 시,A 는 다음 연속 소수 3 에 대해 끊임없이 모드 를 취한 다.
이런 식 으로 유추 하면 A=1 까지 이다.
 
특수 판정 에 주의 하 세 요.A 자체 가 소수 일 때 분해 할 수 없고 자신 이 그 자체 의 소수 분해 식 입 니 다.
 
마지막 으로 A=p1^k1*p2^k2*p3^k3*...* pn^kn.       그러므로 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);
2:A^B 의 모든 약수 의 합 은:
     sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].
3:재 귀 2 분 으로 등비 수열 1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n:
(1)n 이 홀수 라면 모두 짝수 항목 이 있 으 면:      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))       = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
상단 의 빨간색 이 굵 어 지 는 앞부분 이 바로 원 식 의 절반 이다.그러면 2 분 구 화 를 계속 재 귀 하면 된다.후반 부 는 멱 차 식 으로 아래 4 시 에 계산 방법 을 설명 할 것 이다.
 
(2)n 이 짝수 라면 모두 홀수 항목 이 있 으 면:      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)       = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);
   윗 면 의 빨간색 이 굵 어 지 는 앞부분 은 바로 원래 의 절반 이 고,여전히 재 귀적 으로 해답 을 구한다.
 
4:반복 제곱 법 계산 幂 次 식 p^n
   이것 은 본 문제 의 관건 이다.n 차 멱 방법의 좋 고 나 쁨 을 구하 여 본 문제 의 TLE 여 부 를 결정 한다.
   p=2,n=8 을 예 로 들다
   일반적인 것 은 곱셈 법 으로 멱,즉 2^8=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2
   이렇게 하 는 거 는 8 번 곱 하기.
 
   반복 제곱 법칙 은 다르다.
   멱 sq=1 을 정의 하고 n 이 0 보다 큰 지 확인 합 니 다.
while,순환 과정 에서 n 이 홀수 인 것 을 발견 하면 이때 의 p 값 을 sq 로 곱 합 니 다.
{
   n=8>0,p 를 한 번 곱 하기,p=p*p=4     ，n 취 반 n=4
   n=4>0,p 를 한 번 더 곱 하면 p=p*p=16   ，n 취 반 n=2
n=2>0,p 를 한 번 더 곱 하면 p=p*p=256  ，n 취 반 n=1,sq=sq*p
n=1>0,p 를 한 번 더 곱 하면 p=p*p=256^2  ，n 반 n=0,팝 업 순환
}
sq=256 이 바로 원 하 는 것 이 고 반복 제곱 법 은 3 번 의 곱셈 만 한 것 이 분명 하 다.

#include<stdio.h>
#include<string.h>

const int mod = 9901;
const int maxn = 10000;

int p[maxn];
int n[maxn];

__int64 pow(int a, int b)// a^b
{
    a %= mod;
    __int64 ret = 1;

    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret = (ret*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

__int64 sum(__int64 p, __int64 n)
{
    if(n == 0) return 1;
    else if(n&1) /**n    ,   */
        return (sum(p, n/2)*(1+pow(p, n/2+1)))%mod;
    else return (sum(p, n/2-1)*(1+pow(p, n/2+1))+pow(p, n/2))%mod;
}

int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d", &a,&b) != EOF)
    {
        memset(p,0,sizeof(p));
        memset(n,0,sizeof(n));

        p[0] = 1;
        n[0] = 1;
        int k = 0;
        int divis = 2;

        while(a != 1) /**   a*/
        {
            if(a%divis == 0)
            {
                p[++k] = divis;
                n[k] = 1;
                a /= divis;
            }
            while(a%divis == 0)
            {
                p[k] = divis;
                a /= divis;
                n[k]++;
            }

            if(divis == 2)  
                divis += 1;
            else divis += 2;
        }
/*
        for(int i = 0; i <= k; i++) printf("%d ", p[i]);
        printf("
");
        for(int i = 0; i <= k; i++) printf("%d ", n[i]);
        printf("
");
*/
        __int64 ans = 1;
        for(int i = 1; i <= k; i++)
            ans = (ans*(sum(p[i], n[i]*b)%mod))%mod;
        printf("%I64d
", ans);
    }
    return 0;
}

1845
Accepted
196K
16MS
C++
899B
2012-08-09 19:27:31

같다

//Memory Time 
//336K   0MS 

#include<iostream>
using namespace std;

const int size=10000;
const int mod=9901;

__int64 sum(__int64 p,__int64 n);  //      (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod
__int64 power(__int64 p,__int64 n);  //       (p^n)%mod

int main(void)
{
	int A,B;
	int p[size];//A    ,p[i]^n[i]
	int n[size];

	while(cin>>A>>B)
	{
		int i,k=0;  //p,n  

		/*    ：    A (A    )*/
		for(i=2;i*i<=A;)   //   +   
		{
			if(A%i==0)
			{
				p[k]=i;
				n[k]=0;
				while(!(A%i))
				{
					n[k]++;
					A/=i;
				}
				k++;
			}
			if(i==2)  //   
				i++;
			else
				i+=2;
		}
		/*    ：    A (A   )*/
		if(A!=1)
		{
			p[k]=A;
			n[k++]=1;
		}

		int ans=1;  //   
		for(i=0;i<k;i++)
			ans=(ans*(sum(p[i],n[i]*B)%mod))%mod;  //n[i]*B     int，   __int64

		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

__int64 sum(__int64 p,__int64 n)  //      (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod
{                          //      (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
	if(n==0)               //      (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
		return 1;
	if(n%2)  //n   ,
		return (sum(p,n/2)*(1+power(p,n/2+1)))%mod;
	else     //n   
		return (sum(p,n/2-1)*(1+power(p,n/2+1))+power(p,n/2))%mod;
}

__int64 power(__int64 p,__int64 n)  //      (p^n)%mod
{
	__int64 sq=1;
	while(n>0)
	{
        if(n%2)
            sq=(sq*p)%mod;
        n/=2;
        p=p*p%mod;
    }
	return sq;
}