푸아송 확률

이항 대 포아송 확률

성공/실패의 빈도 또는 평균 수를 알고 있고 이벤트의 총 수에는 특별히 관심이 없을 때. 프로세스가 연속적이거나 숫자가 매우 크기 때문입니다. 따라서 확률 계산에 이항 분포를 사용하는 대신 작은 성공/실패 확률과 더 많은 수의 이벤트에 대해 잘 근사하는 푸아송 확률 질량 함수를 적용할 수 있습니다.

푸아송 pmf는 다음과 같습니다.



여기서 파라미터 λ>0은 평균이고 x=0,1,2,...

예

실용 학습에 열광하는 나 자신으로서 포아송 분포를 예제에 적용하는 방법을 보여주고 싶습니다.

문제 1
고객은 시간당 평균 11대의 속도로 여행사에 도착합니다. 시간당 도착 횟수가 푸아송 분포라고 가정하고 주어진 시간에 10명 이상의 고객이 도착할 확률을 제공하십시오.
(출처: 확률 및 통계적 추론, 9판, Robert V. Hogg 등)



실수를 피하기 위해 Python을 사용하여 계산했습니다.

# Solution:

# cumulative probability X <=10 
cumul_prob = poisson.cdf(10,11) # X<=10, lambda = 11

# probabiliy of X>=11:
1- cumul_prob

문제 2

항공사는 가능하면 항상 초과 예약합니다. 특정 비행기는 티켓이 $300에 판매되는 항공편에 95개의 좌석이 있습니다. 항공사는 이 항공편에 대해 그러한 티켓을 100장 판매합니다.
(a) 독립성을 가정하여 한 개인이 나타나지 않을 확률이 0.05라면, 항공사가 나타나는 모든 승객을 수용할 수 있는 확률은 얼마입니까?
(출처: 확률 및 통계적 추론, 9판, Robert V. Hogg 등)

여기서 우리는 이항 pmf 또는 푸아송 pmf를 근사 솔루션으로 사용할 수 있습니다. 여기서 λ=p*n = 0.05*100=5입니다.

모든 승객을 수용하기 위해 예약된 100장의 티켓 중 5명 이상의 승객이 나타나지 않아야 합니다.

# Solution:
# Here I will use Poisson distribution as a 
# good approximation of binomial distribution as n=100, and p=0.05.

# (a)
# lambda = probability*n=0.05*100
lam = 0.05*100
# We need to find that at least 5 people out of 100 booked will not how up. 
# P(X>=5) = 1 - P(X<=4)
# cumulative probability X >= 5  
1 - poisson.cdf(4,5) # X<=4, lambda = probability*n=0.05*100 = 5

(b) 항공사가 비행기에 탑승할 수 없는 각 승객에게 $300 가격과 $400의 위약금을 반환해야 하는 경우 항공사가 지불할 것으로 예상되는 지불금(위약금 + 항공권 환불)은 얼마입니까?

기대 급여 = 614.14, Python으로 계산:

# (b)
# Airline will pay = 700 for each passenger who showed (when 96th, 97th, .. shows up)
# or when exactly 4,3,2,1,and 0 passengers did not show up:
pay = 1*700* poisson.pmf(4,5) + 2*700* poisson.pmf(3,5) + \
    3*700* poisson.pmf(2,5) + 4*700* poisson.pmf(1,5) + \
    5*700* poisson.pmf(0,5)
pay

우리는 다음 질문에 답할 수 있습니다. 최대 기대 수익성을 얻기 위해 판매할 가장 경제적인 티켓 수는 얼마입니까?
여기 내 solution에 대한 링크가 있습니다.

요약

여기서는 포아송 분포를 적용하여 확률과 예상 이익을 계산했습니다. 마지막 예에서는 초과 예약을 허용함으로써 발생하는 손실, 특히 초과 예약으로 인한 고객 손실 및/또는 나쁜 리뷰로 인한 손실을 정량화하여 추정치를 더욱 개선할 수 있습니다.