1932 정수 삼각형

문제

        7
      3   8
    8   1   0
  2   7   4   4
4   5   2   6   5

위 그림은 크기가 5인 정수 삼각형의 한 모습이다.

맨 위층 7부터 시작해서 아래에 있는 수 중 하나를 선택하여 아래층으로 내려올 때, 이제까지 선택된 수의 합이 최대가 되는 경로를 구하는 프로그램을 작성하라. 아래층에 있는 수는 현재 층에서 선택된 수의 대각선 왼쪽 또는 대각선 오른쪽에 있는 것 중에서만 선택할 수 있다.

삼각형의 크기는 1 이상 500 이하이다. 삼각형을 이루고 있는 각 수는 모두 정수이며, 범위는 0 이상 9999 이하이다.

입력

첫째 줄에 삼각형의 크기 n(1 ≤ n ≤ 500)이 주어지고, 둘째 줄부터 n+1번째 줄까지 정수 삼각형이 주어진다.

출력

첫째 줄에 합이 최대가 되는 경로에 있는 수의 합을 출력한다.

예제 입력 1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

예제 출력 1

30

코드

import java.io.*;
import java.util.Arrays;

public class P_1932 {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i<= n; i++) dp[i] = Arrays.stream(br.readLine().split(" ")).mapToInt(Integer::parseInt).toArray();

        for (int i = n - 1 ; i >= 1; i--) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i][j] += Math.max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]);
            }
        }

        bw.write(Integer.toString(dp[1][0]));
        bw.flush();
    }
}

코드 설명

정수 삼각형의 최대 크기는 500이다.
삼각형의 i높이 층에는 i개의 정수가 있다.
즉, 최대 높이가 500이라고 주어졌을 때 정수는 1 + 2 + 3 + ... + 500 이므로 125250개가 있으므로 브루트 포스로 풀기 위해서는 2^125250시간이 걸린다.

그래서 dp를 이용했다.
먼저, dp는 층에 대한 정보와 그 층에 있는 정수를 이용했을 때의 최대 수의 합에 대한 정보를 가지고 있어야 한다.
dp가 두 정보를 모두 필요로 하므로 이차원배열을 선언했다.

dp[i][j]는 i층의 j번째 정수를 이용했을 때의 최대합이다.

dp[i][j] 값을 구하기 위해서는 dp[i - 1][j - 1] 혹은 dp[i - 1][j]를 이용해야한다.
만일 j번째 정수가 삼각형의 끝쪽 (즉, 0번째 정수이거나 i - 1번째 정수) 일 땐 위의 식을 조정을 해야한다.

이렇게 하면 조건문이 세 개로 분기되게 된다.

if (j == 0) dp[i][j] += dp[i - 1][0];
else if(j == i - 1) dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] += Math.max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]);

그런데 밑에서부터 위로 올라가는 방식으로 구하게 되면 조건문이 여러개일 필요가 없다.
밑층의 정수의 개수가 윗층의 정수의 개수보다 많기 때문에 한 개의 점화식이면 충분하다.

dp[i][j] += Math.max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]);