배경

표본 평균의 분산이 모 분산/표본 크기가 되는 것을 수치 실험으로 확인한다의 속편입니다.
이번에는 표본 분산의 기대치가 $\sigma^2\times(n-1)/n$가 되는 것을 수치 실험으로 확인합니다($\sigma^2$:모 분산, $n$:표본 사이즈 ).

수치 실험

언어는 C++를 사용합니다. 확률 분포 함수는 1차원의 균일 분포[-1,+1)로 합니다. 표본 크기는 10으로 하고, 3000회 추출을 반복하여, 표본 분산의 평균값이 수렴하는 것을 확인했습니다.

#include <iostream>
#include <random>

int main(int argc, char **argv)
{
        std::mt19937 mt(0);
        double a = -1, b = 1;
        std::uniform_real_distribution<double> r(a, b);

        int num_of_sample = atoi(argv[1]);//標本サイズ
        int Iter = 3000;//試行回数

        double sum = 0;
        for (int iter = 0; iter < Iter; iter++)
        {
                double avr = 0;//標本平均
                double avr2 = 0;//二乗平均
                for (int n = 0; n < num_of_sample; n++)
                {
                        double val = r(mt);
                        avr += val / (double)num_of_sample;
                        avr2 += val*val / (double)num_of_sample;
                }
                sum += avr2 - avr*avr;
                std::cout << iter << " " << sum/(double)(iter+1) << std::endl;
        }

        return 0;
}

균일 분포의 모분산은 $\sigma^2 = (b-a)^2/12=1/3$, 표본 분산의 기대치는 이것에 $(10-1)/10$ 배한 것이 되어야 한다 예, 올바른 값으로 수렴하는 모습을 확인할 수있었습니다.

요약

표본 분산의 기대치가 모분산×(표본 사이즈-1)/표본 사이즈가 되는 것을 수치 실험으로 확인했습니다. 즉, 표본 분산의 기대치는 모 분산보다 작은 값이 됩니다. 표본 분산의 값에서 모분산의 값을 추정할 때는 주의가 필요하며 여기에서 불편 분산이라는 개념이 나타납니다.