라틴 초방격 샘플링(LHS)이란?

다변수의 층별 샘플링 기법 중 하나이며, n개의 실험수를 지정한 경우, 각 변수를 n개의 구간으로 분할하고 구간에서 랜덤하게 값을 취해 랜덤하게 조합해 가는 실험계획법이다 .
문장을 잘 모르기 때문에 pyDOE가되는 모듈이 있었으므로 시도해 보겠습니다.

설치

pip install pyDOE

실험수 5개, 변수 2개로 구간의 중심을 꺼낼 경우의 실험 패턴은?

>from pyDOE import lhs
>lhs(2,5,"c")
array([[ 0.3,  0.7],
       [ 0.1,  0.1],
       [ 0.5,  0.9],
       [ 0.9,  0.5],
       [ 0.7,  0.3]])

위를 다시 실행하면 조합이 다릅니다.
추가 인수 "c"를 지정하지 않으면 구간 내에서 무작위로 추출됩니다.
이런 느낌입니다.

OpenMDAO를 이용한 포물면의 라틴 초방격 샘플링

\begin{align}
& f(x,y) = (x-3)^2 + xy + (y+4)^2 - 3 \\
    {\rm subject \: to} \: \: \:&  -50.0\leq x \leq 50.0 \\
                                &  -50.0\leq y \leq 50.0
\end{align}

Component 준비

아래의 paraboloid.py 파일 준비

paraboloid.py

from openmdao.api import Component
class Paraboloid(Component):
    """ Evaluates the equation f(x,y) = (x-3)^2 + xy + (y+4)^2 - 3 """
    def __init__(self):
        super(Paraboloid, self).__init__()
        self.add_param('x', val=0.0)
        self.add_param('y', val=0.0)
        self.add_output('f_xy', shape=1)
    def solve_nonlinear(self, params, unknowns, resids):
        """f(x,y) = (x-3)^2 + xy + (y+4)^2 - 3 """
        x = params['x']; y = params['y']
        unknowns['f_xy'] = (x-3.0)**2 + x*y + (y+4.0)**2 - 3.0

Problem(문제) 설정

아래는 doe_paraboloid.py를 준비한다.

doe_paraboloid.py

#!/bin/pyhton

from openmdao.api import IndepVarComp, Group, Problem,  SqliteRecorder
from paraboloid import Paraboloid
from openmdao.drivers.latinhypercube_driver import OptimizedLatinHypercubeDriver
from openmdao.core.mpi_wrap import MPI

if MPI: # pragma: no cover
    # if you called this script with 'mpirun', then use the petsc data passing
    from openmdao.core.petsc_impl import PetscImpl as impl
else:
    # if you didn't use `mpirun`, then use the numpy data passing
    from openmdao.api import BasicImpl as impl

top = Problem(impl=impl)
root = top.root = Group()

root.add('p1', IndepVarComp('x', 50.0), promotes=['x'])
root.add('p2', IndepVarComp('y', 50.0), promotes=['y'])
root.add('comp', Paraboloid(), promotes=['x', 'y', 'f_xy'])

top.driver = OptimizedLatinHypercubeDriver(num_samples=100, seed=0, population=20, \
            generations=4, norm_method=2, num_par_doe=5)
top.driver.add_desvar('x', lower=-50.0, upper=50.0)
top.driver.add_desvar('y', lower=-50.0, upper=50.0)

doe_paraboloid.py 계속

top.driver.add_objective('f_xy')

recorder = SqliteRecorder('doe_paraboloid')
recorder.options['record_params'] = True
recorder.options['record_unknowns'] = True
recorder.options['record_resids'] = False
top.driver.add_recorder(recorder)

top.setup()
top.run()

top.cleanup()

루트에 Paraboloid ()를 추가 할 때 promotes를 인수로 사용하여 p1.x, comp.x 등을 자동으로 연결합니다.

이번에는 GA를 사용하여 LHS의 실험점 배치를 좋은 느낌으로 만들어주는 드라이버 인 OptimizedLatinHypercubeDriver를 사용했습니다.
OptimizedLatinHypercubeDriver의 인수에는 샘플 수는 100, 랜덤 시드 0, GA의 개체 20, 세대 4, GA 중에서 각 DOE 포인트간의 거리를 정규화하는 놈(np.linalg.norm에서 사용), num_par_doe로 병렬 화 수가 지정되었습니다.

터미널에서 다음을 수행합니다.

mpirun -np 5 python doe_paraboloid.py

결과 로드

IPython

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import sqlitedict

db =sqlitedict.SqliteDict("doe_paraboloid","iterations")
res = np.array([[0.,0.,0.]] * len(db.items()))
for i, v in enumerate(db.items()):
    res[i,0] = v[1]["Unknowns"]["x"]
    res[i,1] = v[1]["Unknowns"]["y"]
    res[i,2] = v[1]["Unknowns"]["f_xy"]

x = np.arange(-50, 50, 4)
y = np.arange(-50, 50, 4)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = (X-3.0)**2 + X*Y + (Y+4.0)**2 - 3.0

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_wireframe(X,Y,Z)
ax.scatter3D(res[:,0],res[:,1],res[:,2],c="r", marker="o")
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f_xy')
plt.show()

OpenMDAO로 포물면 최소화 문제 해결