제면

제목의 뜻

직사각형 표를 제시하는데 일부 부분에 장애물이 있는데 그 중에서 1*2의 도미노 골패(채우지 않아도 된다)를 넣으면 서로 인접한 두 줄 사이에 최소한의 골패가 가로놓여 있고 서로 인접한 두 열 사이에도 최소한의 골패가 가로놓여 방안을 구한다.

방법

편의를 위해 S(i, j, p, q)로 왼쪽 상각이 (i, j)임을 표시하고 오른쪽 상각이 (p, q)인 자사각형은 먼저 dp로 dp[i][j][p][q]를 미리 처리한다. [q]는 S(i, j, p, q)가 마음대로 골패를 놓는 방안수(행렬의 횡단 여부를 고려하지 않음)를 표시한 다음에 dp[i][j][u][q]*dp[i][u+1][p][q]는 S(i, j, p]와 uq) 사이에 가로로 된 골패가 없다는 것을 발견할 수 있다.따라서 우리는 용척으로 열의 횡단을 해결할 수 있지만 행의 횡단에 대해서는 이렇게 해답을 구할 수 없다(복잡도가 더 높다). 우리는 f[i]수조로 전 i행의 서로 인접한 두 줄 사이에 적어도 하나의 골패가 횡단하는 방안수를 나타낼 수 있다. 그러면 f[x]=t[1][x]-∑i=2x\sum{i=2}^x∑i=2xf[i-1]*t[i][x] 그 중에서 t[i][j]는 i행에서 j행까지의 횡단을 고려하지 않는 방안수를 나타낸다.두 가지 가로로 된 구법을 결합하면 답을 얻을 수 있다.

코드

#include
#include
#define ll long long
#define N 20
#define MN 40000
#define M 19901013
using namespace std;

ll m,n,dp[N][N][N][N],tmp[2][MN],f[N],num[N],top,ans;
char str[N];
bool mm[N][N];

inline ll ask(ll u,ll v)
{
	return (u>>v)&1;
}

inline void work(ll w,ll u,ll v)
{
	ll i,j,k,l,t,t2,zt,tot=(1 << (v-u+1))-1;
	bool now=0,nxt;
	for(i=0; i<=tot; i++) tmp[0][i]=0;
	t2=0;for(i=u;i<=v;i++) if(mm[w][i]) t2|=(1 << (i-u));
	tmp[0][t2]=1;
	for(i=w+1; i<=m+1; i++)
	{
		zt=0;
		for(j=u,t=0; j<=v; j++,t++)
		{
			zt|=(mm[i][j] << t);
			nxt=now^1;
			for(k=0; k<=tot; k++) tmp[nxt][k]=0;
			for(k=0; k<=tot; k++)
			{
				if(!tmp[now][k]) continue;
				t2=k;
				if(ask(t2,t)!=mm[i][j]) t2^=(1 << t);
				tmp[nxt][t2]=(tmp[nxt][t2]+tmp[now][k])%M;
				if(ask(k,t)) continue;
				if(j!=v&&!ask(k,t+1))
				{
					t2=k|(1 << (t+1));
					if(ask(t2,t)!=mm[i][j]) t2^=(1 << t);
					tmp[nxt][t2]=(tmp[nxt][t2]+tmp[now][k])%M;
				}
				if(!mm[i][j])
				{
					t2=k|(1 << t);
					tmp[nxt][t2]=(tmp[nxt][t2]+tmp[now][k])%M;
				}
			}
			now=nxt;
		}
		dp[w][u][i-1][v]=tmp[now][zt];
	}
}

int main()
{
	ll i,j,k,tot,p,q,t,u,d;
	cin>>m>>n;
	for(i=1; i<=m; i++)
	{
		scanf("%s",str+1);
		for(j=1; j<=n; j++)
		{
			mm[i][j]=(str[j]!='.');
		}
	}
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		for(j=i; j<=n; j++)
		{
			for(k=1; k<=m; k++)
			{
				work(k,i,j);
			}
		}
	}
	
	tot=(1 << (n-1))-1;
	for(i=0; i<=tot; i++)
	{
		top=0;
		num[++top]=0;
		for(j=0; j<n-1; j++)
		{
			if(ask(i,j)) num[++top]=j+1;
		}
		num[++top]=n;
		for(d=1; d<=m; d++)
		{
			for(u=1; u<=d; u++)
			{
				t=1;
				for(j=2; j<=top; j++)
				{
					p=num[j-1]+1,q=num[j];
					t=t*dp[u][p][d][q]%M;
				}
				if(u==1) f[d]=t;
				else f[d]-=t*f[u-1]%M,f[d]%=M;
			}
		}
		f[m]=(f[m]+M)%M;
		if(top&1) ans-=f[m];
		else ans+=f[m];
		ans%=M;
	}
	cout<<(ans+M)%M;
}