동기 부여

하나의 파라미터로 이미지의 대비를 왜곡하는 톤 커브를 구현하고 싶었습니다.

이미지의 대비 조정을 위한 히스토그램에 적합한 함수를 찾고 있습니다. 에서는 시그모이드가 추측되고 있지만, 시그모이드는 값역이 $[0,1]$가 아니다

$0\rightarrow 0$, $1\rightarrow 1$이었으면 좋겠다

PseudoSigmoid의 역사

『시그모이드 곡선의 정의역이 유계가 아니기 때문에, 유계한 시그모이드 곡선을 마음대로 만들어 보았다』 을(를) 발견

『시그모이드 함수로 콘트라스트 강조』 도 발견

「감마 곡선과 시그모이드 곡선에 의한 화상 보정」 하지만 비슷한 일을하고 있습니다

1. 시그모이드를 베이스에 조금 세로로 늘린다

상기 『시그모이드 함수로 콘트라스트 강조』 이나 「감마 곡선과 시그모이드 곡선에 의한 화상 보정」 에서의 구현

s(x) = \frac{1}{1+e^{a(b-x)}}\\
f(x) = \frac{s(x)-s(0)}{s(1)-s(0)}

결과

htps //w w. 게오게 b 등. rg/m/ydqszvqw

좋은 곳

부드러운

나이브

나쁜 곳

콘트라스트 낮추는 분에게는 대응할 수 없을 것 같아

라고 생각하면 「감마 곡선과 시그모이드 곡선에 의한 화상 보정」 그럼 할 수 있는 것 같다. 왜. . .

2. PseudoSigmoid

『시그모이드 곡선의 정의역이 유계가 아니기 때문에, 유계한 시그모이드 곡선을 마음대로 만들어 보았다』 구현

f(x) = \frac{sinh^{−1}[(2x−1)sinh(t)]}{2t} + \frac{1}{2}

결과

htps //w w. 게오게 b 등. 오 rg / m / 우 bn fh z

좋은 곳

예쁜

나쁜 곳

어려운

콘트라스트 낮추는 분에게는 대응할 수 없다

3. 지수 접근

지수로 구현해 보자.
$x^t$는 $(0,0)$과 $(1,1)$를 통과하므로, 이것을 2개 뒤집어 연결하면 점대칭 S자 곡선이 생긴다.
이하 $h$는 변곡점. ($[0,1]$로 하고 싶으면 $h=0.5$)

f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
h \Big( 1 + \big( \frac{x-h}{h} \big)^{2^t} \Big) & (x \geq h) \\
h \Big( 1 - \big( \frac{h-x}{h} \big)^{2^t} \Big) & (x \lt h)
\end{array}
\right.

결과

htps //w w. 게오게 b 등. rg/m/d4zqtqy

왠지 부끄러운

pH 점프 이다 이것

좋은 곳

부의 값을 구현할 수 있다

나쁜 곳

변곡점 근처에 달라 붙는다

여기서 알아차리다

f(x) = \frac{sinh^{−1}[(2x−1)sinh(t)]}{2t} + \frac{1}{2}

이것, 역함수 낼 수 있는 것은?

4. 확장 PseudoSigmoid

$ t $가 음수 일 때 역함수로 마이그레이션하여 대비를 떨어 뜨리는 사람들에게도 대응합니다.

f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (t = 0)\\
\frac{sinh^{−1}[(2x−1)sinh(t)]}{2t} + \frac{1}{2} & (t \gt 0) \\
\frac{sinh[(2x−1)t]}{2sinh(t)} + \frac{1}{2} & (t \lt 0)
\end{array}
\right.

결과

htps //w w. 게오게 b 등. 오 rg/m/fxf 우우 퓨

구현

그대로 써 보았다 ($[0,MAX]\rightarrow [0,MAX]$)

extended_pseudosigmoid.js

function extended_pseudosigmoid(x, t, MAX){
    if (t === 0) return x;
    else if (t > 0) return (Math.asinh((2 * x / MAX - 1) * Math.sinh(t)) / 2 / t + 0.5) * MAX;
    else return (Math.sinh(t * (2 * x / MAX - 1)) / 2 / Math.sinh(t) + 0.5) * MAX;
};

결론

$\star$Sigmoid는 위대한 ––––––!