개인적인 의문이 2개 풀려서 적어놨어요.

컨텐트

단일 단진동

카니카 그룹에서의 단진동

위치와 에너지의 분포 함수를 각각 조사하다.

단일체의 단진동

조화진자가 있다.잠재력

U(x)= \frac{1}{2}kx^2 

단진동에 따르다.일반 고전 역학의 범위 내에서 이 잠재적인 운동 방정식을 풀려면 좌표는

x = A\sin(\omega t + \alpha)

속도 사용 좌표

v = \omega A\cos(\omega t + \alpha) = \pm\omega \sqrt{A^2 - x^2}

전화를 걸다.기호가 잘 어울리지만 이번 토론은 사용하지 않으니 제 마음대로 하겠습니다.

위치 분포 함수

그러면 시간 $t가 고르게 분포되었을 때 위치는 어떻게 분포되었습니까?첫 번째 의문이다.나는 단지 단순히 몰랐을 뿐이지, 내가 조사해 보았다.
대답은 역정현 분포다.

P(x \mid E) = \frac{1}{Z\sqrt{A^2 - x^2}}

내보내기

좌표의 미거리 구간 $x\simx+dx$의 시간 $dt달러를 속도로 갈라놓으면 됩니다

dt = \frac{dx}{\omega \sqrt{A^2 - x^2}}

전화를 걸다.시간은 고르게 분포되어 있기 때문에 이 좌표의 시간은 좌표의 확률로 여겨진다.이렇게 하면 역정현의 분포를 얻을 수 있다.
또는 시간에 대한 기대치의 적분을 계산할 때 이 미소시간의 관계를 이용하여 변수를 변환하면 위치에 대한 기대치의 공식이 되기 때문에 그 중의 확률 분포 부분도 고려할 수 있다.
그 밖에 조화진자의 활동 범위는 제한되어 있다.총 에너지

E = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2

$x=A$의 위치 에너지가 가장 많을 때 $v=0달러이기 때문에 $A=\sqrt{2E/k}달러입니다.또한 달러가 존재하는 범위는 $-A\lex\leA$$입니다.이걸로 확률 분포 함수를 잘 쓰면

P(x \mid E) = 
\left\{\begin{array}{lr}
\frac{1}{Z\sqrt{A^2 - x^2}} &\left(-A \le x \le A\right)\\
0&(\mathrm{otherwise})
\end{array} \right.

.여기 있다

Z = \int_{-A}^{A}\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \pi

규격화에 쓰이는 계수다.

세력

또한 세력은 좌표의 제곱과 비례하기 때문에 쌍각 공식 $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta달러를 사용하면

U(t)= \frac{1}{2}kx(t)^2 = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \alpha) = \frac{1}{4}kA^2\left(1 - \cos(2\omega t + 2\alpha)\right)

따라서 이것도 역정현 분포다.

\frac{dU}{dt} = \frac{1}{2}\omega kA^2\sin(2\omega t + 2\alpha) = \omega\sqrt{\left(\frac{1}{4}kA^2\right)^2 - \left(U - \frac{1}{4}kA^2\right)^2}

이런 세력의 시간 변화(위치에 대한 속도를 고려함)를 보면

P(U) = \left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{\pi\sqrt{\left(E/2\right)^2 - \left(U - E/2\right)^2}} \ \ \ \  \left(0 \le U \le E\right)\\
0
\end{array} \right.

이런 느낌이야.일반적인 역정현 분포에서 좌표를 $kA^2/4=E/2달러로 엇갈린 것 같다.

실험

파이톤으로 실제로 확인을 해볼게요.A=1달러, E=1달러, $k=2달러로 가정합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
t = np.random.uniform(0, 2*np.pi, size=2000)
xt = np.sin(t)
x = np.linspace(-1, 1, 202)[1:-1]
fx = 1./np.pi/np.sqrt(1. - x**2)
count, bins, hist = plt.hist(xt, bins=40)
dx = bins[1] - bins[0]
plt.plot(x, fx*xt.size*dx)
plt.show()

Ut = xt**2
U = np.linspace(0, 1, 202)[1:-1]
fU = 1.0/np.pi/np.sqrt((0.5)**2 - (U - 0.5)**2)
count, bins, hist = plt.hist(Ut, bins=40)
dU = bins[1] - bins[0]
plt.plot(U, fU*Ut.size*dU)
plt.show()

결과는 다음과 같다.

좌표

세력

재현할 수 있을 것 같아서요.

카니카 그룹의 분포 함수

다른 한편, 분자동력학 시뮬레이션을 실시하여 공진자 전위에 따른 화학 결합 길이의 분포를 조사하여 정규 분포의 형식을 형성하였다.게다가 라프라스 분포처럼 보일 수도 있다.
열욕 속에서 하는 운동이지만 한 몸이면 가장 얇게 분포하는 곳이 이번이 가장 많다.어떤 구조일까요?나는 직감이 없기 때문에 이것이 두 번째 의문이다.
이거 확인해 볼게요.

위치 분포 함수

모든 에너지로 위치 확률 분포 함수를 외곽화해 보자.

P(x) = \int_{E_0}^\infty dEP(x\mid E)P(E)  

1항 $P(x\mid E)$는 총 에너지를 고정할 때의 분포이며 역정현 분포이다.
두 번째는 이 진동기가 가지고 있는 에너지의 분포다.그러면 분자동력학 처리 통계 그룹은 그 부분 시스템과 카니카 그룹은 할 수 있다.만약 이 진자가 카노카라면 에너지는 볼츠만 분포 $P(E)=\exp(-\beta E)$가 된다.
포인트 범위 하한$E0달러는 달러×달러가 있는 위치의 에너지 $U(x)달러입니다.$E$E$E보다 낮은 경우를 고려하면 움직임이 마이너스로 변하여 물리적으로 고려하지 않는 범위가 된다.반대로 상기에서 정의한 $E$$$x의 범위를 돌이켜 보면 그 범위를 초과한 $x가 있다. 이것은 $P(x\mid E)=0달러를 포인트 범위에서 제외한다.
잘 대입하면...

P(x) = \int_{\frac{1}{2}kx^2}^\infty dE\frac{\exp(-\beta E)}{\pi\sqrt{\frac{2E}{k} - x^2}}  

여기까지 쓰면 보통 포인트가 될 것 같은데 이번엔 맥시마에게 맡길게요.wxMaxima 시작

integrate(exp(- β*E)/(π*sqrt(2*E/k - x^2)), E, k*x^2/2, inf);

및 입력, Shift+Enter 를 누르면 $\beta와 $k의 플러스와 마이너스를 묻기 때문에 쌍방positive(+Shift+Enter) 입력

\frac{\sqrt{k}\, {{\% e}^{-\frac{k\, {{x}^{2}} \beta }{2}}}}{\sqrt{2}\, \sqrt{\pi }\, \sqrt{\beta }}

를 입력합니다.이걸 정리하면...

\sqrt{\frac{k}{2\pi\beta}}\exp \left(-\frac{k \beta x^2}{2} \right)

그래서 우리는 그것의 정적 분포를 확실히 발견했다.일단 규격화하면

P(x) = \sqrt{\frac{k\beta}{2\pi}}\exp\left(-\frac{k\beta x^2}{2}\right)

$P(x)dx$는 확률이라는 뜻이 있기 때문에 $P(x)$는 위치의 밑바닥의 차원이 있습니다.

보충

투고 직후 볼츠만 인자와 $P(E)=\beta\exp(-\betaE)$를 표준화하면 $P(x)$도 표준화된다는 것을 알아차렸다.

세력 분포 함수

그리고 세력의 분포를 똑같이 고려하면

P(U) =  \int_{E_0}^\infty dEP(U\mid E)P(E) 
\sim \int_{U}^\infty dE\frac{\exp(-\beta E)}{\sqrt{\left(E/2\right)^2 - \left(U - E/2\right)^2}}

.이것도 맥시마에 넣어야 돼.

integrate(exp(-β*E)/√((E/2)²-(U - E/2)²), E, U, ∞)

$\beta달러positive에 대한 질문을 받을 수 있으므로 입력하십시오.

\frac{\sqrt{\pi}\, {{\% e}^{-U \beta }}}{\sqrt{U}\, \sqrt{\beta }}

얻을 수 있다.정리를 해보면...

\sqrt{\pi} \frac{\exp(-\beta U )}{\sqrt{\beta U}}

됐어.미묘하게 라프라스와 분포가 다르다.또한 규격화를 위해 계수는 $\sqrt{1/\pi}가 가장 좋다.
이것은 $k=1달러의 제곱 분포이다

f(x) = \sqrt{\frac{1}{2\pi}}\frac{\exp(-x/2)}{\sqrt{x}}

형식적x\rightarow2\beta U로 바꾸면 계수가 4배 차이가 나는데 이번에는 무시했다.정적 분포의 좌표 $x$2의 제곱은 세력이기 때문에 위키백과의 정의를 보면 $\chi^2달러도 타당한 것 같습니다.

확인

또 하나는 SPC/E flexble 모형의 물을 만드는 MD입니다. 그 궤적을 사용해 보세요.
이 모델은 $k=345000\mathrm{kJ/mol/nm^2}달러입니다.MD는 $300\mathrm{K} 달러로 진행됩니다.
다른 한편, 열욕 아래의 진자와 열욕의 상호작용은 빈도를 변화시킬 수 있다.왠지 $k=3100\mathrm{kJ/mol/nm^2}달러의 숫자를 받았으니 이걸로 해 보세요.
이 매개변수를 분포 함수의 공식에 대입하면 다음 드로잉이 제공됩니다.

파란색 선은 $k=345000달러, 녹색 선은 $k=312000달러일 때의 선이다.지금부터 나는 변조의 주파수가 더 잘 맞는다는 것을 안다. (더 정확히 말하면 비슷하거나 p값을 확인하면 된다고 생각한다.)주파수 변조는 카노카 분포하에서 에너지가 조화로운 진자에게 분배되기 때문에 나타나지 않는다고 생각한다.실제로 조화진자열욕 모형으로 설명한다.
https://ocw.kyoto-u.ac.jp/ja/graduate-school-of-science-jp/course-chemical-statics/pdf/lect05.pdf
전위 에너지 확인이 까다로워져서 생략합니다.

기타

카니카 그룹에 나타난 $\chi^2달러의 분포로 이번에는 세력을 보였다.다른 모두가 알다시피 분자 평이 운동 중의 속도 분포는 맥스웰 분포로 자유도 3달러인\chi^2달러의 분포를 적당한 변수로 전환시켰다.