다이나믹 프로그래밍

큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘 기법이다.

중복되는 연산을 줄이자

• 메모리 공간을 약간 더 사용하면 연산속도를 비약적으로 증가시킬 수 있는 방법이 바로 다프

• 동적 계획법이라고도 한다.

cf) 프로그래밍에서 다이나믹은 "프로그램이 실행되는 도중에"라는 뜻
ex) 자료구조에서 "동적할당"이란? 프로그램 실행 중에 프로그램 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법이다. 하지만 여기서의 다이나믹은 그런 의미가 아니다!

• 피보나치 수열의 점화식을 재귀함수로 사용해서 만들어서 표현

def fibo(x):

  if x == 1 or x ==2:
    return 1

  return fibo(x-1) + fibo(x-2)

• 그런데 이렇게 구성하면 이미 계산 한것을 또 계산하기 때문에 n이 커질수록 수행 시간이 기하급수적으로 커진다. 따라서 이때 다프를 사용하면 효율적으로 계산 할 수 있다.

• 다이나믹 프로그래밍을 사용할 수 있는 조건

1. 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다.

=>피보나치 수열은 이러한 조건을 만족하는 대표 문제이다. 이러한 문제를 메모제이션 기법을 사용해서 해결해보자.

메모제이션 : 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 한 종류로, 한 번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법을 의미한다.
메모제이션은 값을 저장하는 방법이므로 캐싱(cashing)이라고도 한다.

• 메모제이션 구현 방법 : 한 번 구한 정보를 리스트에 저장

#피보나치 수열 소스코드(재귀적)

#한 번 계산된 결과를 메모이제이션하기 위한 리스트 초기화

d = [0] * 100

# 피보나치 함수를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)

def fibo(x):

    #종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x ==2:
      return 1

    #이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
      return d[x]

    #아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x -1) + fibo(x - 2)
    return d[x]


print(fibo(99))

• 99번째 피보나치 수를 구하도록 했음에도 불구하고 금방 정답을 도출

• 큰 문제를 작게 나누는 방법은 분할 정복 알고리즘에서도 사용 ex) 퀵정렬

*분할 정복 알고리즘과 다이나믹프로그래밍의 차이점은 다프는 문제들이 서로 영향을 미치고 있다는 점이다.

*다프를 적용했을 때 피보나치 수열의 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N)
f(1)구한게 f(2)에 쓰이고.. f(2)값이 다시 f(3)구하는데 쓰여서!

#호출 되는 함수 확인
d = [0] * 100

# 피보나치 함수를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)

def fibo(x):

    #종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    print('f(' + str(x) + ')', end = " ")
    if x == 1 or x ==2:
      return 1

    #이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
      return d[x]

    #아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x -1) + fibo(x - 2)
    return d[x]


print(fibo(6))

• 이처럼 재귀 함수를 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법을, 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다고 하여 탑다운방식이라고 한다.

• 반면에 단순히 반복문을 이용하여 소스코드를 작성하는 경우 작은 문제부터 차근차근 답을 도출한다고 하여 바텀업 방식

  • 다이나믹프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식
  • 보텀업 방식에서 사용되는 결과 저장용 리스트는 'DP테이블'이라고 부른다
  • 메모제이션은 "탑다운"방식에 국한되어 사용되는 표현이다.

• 다이나믹 프로그래밍과 메모제이션의 개념을 혼용해서 사용하는 경우도 있는데, 엄밀히 말하면 메모제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓은 넓은 개념을 의미하므로, 다이나믹 프로그래밍과는 별도의 개념이다. 한 번 계산된 결과를 어딘가에 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.
  

• 메모제이션은 때에 따라서 배열이나 리스트가 아닌 dict와 같은 자료형을 이용할 수 있다.

  • 예를 들어 An을 계산하고자 할때, Ao ~ An-1 모두가 아닌 일부의 작은 문제에 대한 해답만 필요한 경우가 있다. 이때는 사전자료형이 더 효과적이다.

실전tip

1. 문제를 푸는 첫단계는 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이다. => 특정한 문제를 완전 탐색 알고리즘으로 접근했을 때 시간이 매우 오래 걸리면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있는지 해결하고자 하는 부분 문제들의 중복 여부를 확인해보자

2. 재귀 함수로 비효율적인 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 즉 메모제이션을 적용할 수 있으면 코드를 개선하는 방법도 좋은 아이디어

   • ex) 피보나치 수열의 예제처럼 재귀 함수를 작성한 뒤에 나중에 메모제이션 기법을 적용해 소스코드를 수정하는 것

3. 가능하다면 재귀 함수를 이용하는 탑다운 방식보다는 보텁업 방식으로 구현하는 것을 권장한다. => 시스템상 재귀 함수의 스택 크기가 한정되어 있을 수 있기 때문이다.recursion depth(재귀 함수 깊이)와 관련된 오류가 발생하면 sys라이브러리에 있는 setrecursionlimit()함수를 호출하여 재귀 제한을 완화할 수 있다는 점 정도만 기억하자.

4. 점화식 세우는 tip : 현재를 기준으로 그 전 상황이 어떻게 변화하는지 case를 나누어 알아보기

실전 문제 - 1로 만들기

#정수 x를 입력받기

 x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP테이블 초기화

d = [0] * 3001


다이나믹 프로개밍(Dynamic programming) 진행(보텀업)

for i in range(2, x + 1):
  # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
  d[i] = d[i - 1] + 1


  # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
  if i % 2 == 0:
    d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)

  #현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
  if i % 3 == 0:
    d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)

  #현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
  if i % 5 == 0:
    d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)


print(d[x])
  

실전 문제 - 개미 전사

#바탐업 방식


#정수 N을 입력받기

n = int(input())

#모든 식량 정보 입력받기
array = list(map(int, input().split()))


# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

#다이나믹 프로그래밍(Dynamic programming) 진행(보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2, n):
  d[i] = max(d[i-1], d[i-2] + array[i])

print(d[n-1])

실전 문제 - 바닥 공사

#정수 N을 입력받기

n = int(input())


#앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 1001


#다이나믹 프로그래밍(Dinamic Programming) 진행(보텀업)

d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3, n+1):
  d[i] = (d[i - 1] + d[i-2] * 2) % 796796

#계산된 결과 

print(d[n])

실전 문제 - 효율적인 화폐 구성

#정수 N,M을 입력받기 

n, m = map(int, input().split())

#N개의 화폐 단위 정보를 입력받기

array = []
for i in range(n):
  array.append(int(input()))


#한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)


#다이나믹 프로그래밍(dynamic programming)

d[0] = 0
for i in range(n):
  for j in range(array[i], m + 1):
    if d[j - array[i]] != 10001: # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
      d[j] = min(d[j], d[j - array[i] + 1])



#계산된 결과 출력

if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
  print(-1)

else:
  print(d[m])