개시하다

파동 방정식의 도출을 완전히 잊었기 때문에 공부할 때 겸사겸사 기록해 두세요.
이 파동 방정식을 분화시켜 수치 계산을 하면 이런 시뮬레이션도 할 수 있다.

참고 자료

파동 방정식 이해 성학

파동 방정식의 도출

음파의 음압, 밀도, 입자 속도 등 물리량은 밀접하게 관련되어 있다.
우선 이 관계들을 살펴보자.다음에 우리는 상태 방정식, 연속식, 운동 방정식을 고려할 것이다.
주의점, 여기서 처리하는 것은 미압력에서 단열과정의 무한소진폭음파를 가정할 수 있는 상황에서 소리의 압력이 매우 높고 파장이 매우 짧은 상황에서 유한진폭음파로 처리해야 한다.

0. 변수 목록

$p_0$\left[\rm{Pa}\right]달러
$p 음압(변동분) $\left[\rm{Pa}\right]달러
$\rho_0달러 밀도(대기압 중) $\left[\rm{kg/m^3}\right]달러
$\rho밀도(변동분)\left[\rm{kg/m^3}\right]달러
입자 속도 $\left[\rm{m/s}\right]달러
$음속 $\left[\rm{m/s}\right]달러
$t 시간 $\left[\rm{s}\right]달러
$실린더 횡단면적 $\left[\rm{m^2}\right]달러

1. 압력과 밀도의 관계

그림에서 피스톤이 오른쪽으로 움직이고 매체가 압축되며 압력은 $p{tot}=p_0+p$, 밀도는 $\rho{tot}=\rho_0+\rho달러로 변경됩니다.
여기는 $p 입니다.{tot]=f\left(\rho 0+\rho\right)에 $$US 함수가 있는 경우
달러가 매우 작기 때문에 테일러는 전개된 후 무시와 비슷했다.

p_{tot}=f(\rho_{tot}) \approx f(\rho_0)+\rho \frac{df(\rho_0)}{d \rho_{tot}} \\
\therefore p=\rho \frac{df(\rho_0)}{d \rho_{tot}}

.미분 부분은 상수이고, 압력과 밀도는 선형 관계이기 때문이다.

2. 압력과 입자 속도의 관계

미소한 시간 $t초 후 피스톤이 기체를 움직이는 힘은 $ps$[N]이고 기체의 질량은 $\rho이다0ctS$[kg]이므로 운동량 저장 규칙부터 시작합니다.

\frac{d(\rho_0 ctS)u}{dt}=pS

하면, 만약, 만약...

\begin{eqnarray} \rho_0 ctSu &=& pSt \\
p &=& \rho_0 cu \end{eqnarray}

알아요. 또 선형 관계예요.

3. 밀도와 입자 속도의 관계

마이크로초 후 피스톤의 위치 이동은 $ut$[m]이고 압력 변화의 전단은 $ct$[m]이며 피스톤의 운동 전과 운동 후의 질량에서 보존됩니다.

\begin{eqnarray} \rho_0 ctS &=& (\rho_0 + \rho)(ct-ut)S \\
&=& (\rho_0 ct - \rho_0 ut + \rho ct - \rho ut)S \end{eqnarray}

그러나 여기서 $\rho와 $u의 축적은 매우 작기 때문에 우리는 근사성을 소홀히 했다.그리고 나서

u=\frac{\rho}{\rho_0} c

이러한 선 유형 관계식을 내보낼 수 있습니다.p =\rho_하면, 만약, 만약...

p=c^2 \rho

내보낼 수 있습니다.

A.상태방정식

아까의 방식을 그대로 사용하다.

p=c^2 \rho

B. 연속식

미디어가 쏟아지거나 사라지는 경우는 없습니다.
그림에서 보듯이, 우리는 단위 시간에 유입되거나 유출되는 매체에 저장된 질량이 $dxS달러라는 조건 공식을 고려했다.
왼쪽에서 단위 시간으로 흐르는 미디어의 질량은 $입니다{tot}(x)u(x)는 S달러를 나타내고 오른쪽에서 단위로 유출되는 시간의 질은 $\rho{tot} (x+dx) u (x+dx) S 달러입니다.
미소 부피에서 단위 시간에 머무르는 질량은 양자의 차이이기 때문에{tot}(x)u(x)S -\rho_{tot} (x+dx) u (x+dx) S 달러입니다.
여기서 테일러는 $x+dx$와 관련된 항목을 펼쳤고 제곱항을 무시한 후 비슷했다.

\rho_{tot}u(x+dx) \approx \rho_{tot}u(x) + \frac{\partial \rho_{tot}u(x)}{\partial x}dx

따라서 단위 시간이 작은 부피에 머무르는 질량

\rho_{tot}(x)u(x)S - \rho_{tot}(x+dx)u(x+dx)S = - \frac{\partial \rho_{tot}u(x)}{\partial x}dxS

질량이 있으면 밀도가 커지고 나오면 밀도가 작아진다.
이번에는 밀도 변화 시간 함수 $\rho입니다.{tot}(t) $[밀도의 변화율]이라고 생각하면×[부피]=[단위 시간 내의 질량]

\frac{\partial \rho_{tot}}{\partial t}dxS = - \frac{\partial \rho_{tot}u}{\partial x}dxS \\
\therefore \frac{\partial \rho_{tot}}{\partial t} + \frac{\partial \rho_{tot}u}{\partial x} = 0

여기는 $\rho입니다.{tot}u=\rho_0u+\rhou달러이기 때문에 소량 사이의 곱셈을 무시합니다

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial u}{\partial x} = 0

.

C. 운동 방정식

음압으로 구동되는 매체의 운동 방정식을 묘사합니다.
그림 2의 질량은 저장할 때와 같다.작은 부피를 움직이는 외력은 좌우 작용력의 차이다.
양측 작업력의 차이는 $p{tot}(x)S-p_{tot}(x+dx) S달러테일러는 제곱항을 무시한 후 x+dx$와 관련된 항목을 펼쳤다.

p_{tot}(x+dx) \approx p_{tot}(x) + \frac{\partial p_{tot}(x)}{\partial x}dx

그러므로

p_{tot}(x)S-p_{tot}(x+dx)S = -\frac{\partial p_{tot}(x)}{\partial x}dxS

.동작 방정식 순으로 $ma=F$$m0dxS달러, $a=$\rac{partial u}

\rho_0dxS \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial p_{tot}(x)}{\partial x}dxS \\
\therefore \frac{\partial p}{\partial x} + \rho_0 \frac{\partial u}{\partial t} = 0

D. 파동 방정식의 조합

드디어 준비가 됐습니다.
우선 연속식의 양쪽을 $t로 미세분합니다.

\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2} + \rho_0 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0

마찬가지로, 운동 방정식의 양쪽을 $x$로 미분한다.

\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \rho_0 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0

각 두 항목이 모두 같으니, 다시 상태 방정식 $p=c^2\rho에 대입합니다

\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=0

그리하여 일차원의 파동 방정식을 얻어냈다.
압력, 밀도, 입자 속도는 선형 관계이기 때문에 위의 압력은 밀도, 입자 속도로 대체할 수 있다.
2차원, 3차원의 도출도 비슷한 절차에 따라 진행할 수 있다.