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데이터에 대한 이해(Data Definition)

예를 들어, 1시간을 공부하면 2점을 맞고 2시간을 공부하면 4점을 맞춘다는 위의 표와 같은 가정을 한다면, 우리는 4시간 공부하면 몇 점을 맞지?가 궁금합니다.
이에 대한 답변을 우리는 쉽게 생각할 수 있지만, 우리는 모델을 사용하여서 몇 점을 맞을 지 예측하고 싶은 것이며, 이를 위해 모델에 데이터를 학습시키는 과정을 거치며, 이때 사용되는 데이터 셋을 훈련 데이터셋이라고 하며, 추가적으로 이 모델이 얼마나 잘 작동하는지 테스트 할 필요성이 있기에 이때 사용되는 데이터셋이 테스트 데이터 셋이라고 합니다.

훈련 데이터 셋

x_train = torch.FloatTensor([[1], [2], [3]])
y_train = torch.FloatTensor([[2], [4], [6]])

여기서 x_train은 공부한 시간, y_train은 공부한 시간에 따라 얻는 점수를 의미합니다.

가설(Hypothesis) 수립

우리는 주어진 주어진 학습 데이터와 가장 잘 맞는 하나의 직선을 찾는 일을 선형 회귀라고 하며,
$y = Wx+b$

손실 계산하기 (Compute loss)

비용 함수(cost function) = 손실 함수(loss function)
= 오차 함수(error function) = 목적 함수(objective function)
라고 보통 지칭하며, loss function에 대해 예제를 통한 설명을 이어나가겠습니다.

우리는 4개의 훈련 데이터가 있고, 이를 2차원 그래프에 4개의 점으로 나타내었고,
우리가 학습을 하는 목표는 이러한 4개의 점을 가장 잘 표현하는 직선을 찾는 일 입니다.

예시로 위와 같은 3개의 직선을 그렸습니다.
여기서 어떤 직선이 4개의 점을 가장 잘 표현한다고 할 수 있을까요???
저는 3개 중에 고르자면, 검은색이라고 말하겠지만, 이러한 선택은 주관적인 생각으로 이루어진 생각이기에 4개의 점을 가장 잘 나타내는 선이라는 근거는 부족할 수 밖에 없습니다.
이러한 근거를 마련하기 위해서 오류(error)라는 개념을 도입하였습니다.

위의 주황색 직선의 식은 $y = 13x+1$

위와 같은 표에 개별 오차가 적혀있으며, 이를 단순히 덧셈을 하게 된다면, 거리에 대한 절대 값이 아니라서 제대로 된 오차의 크기라고 하기에는 어려움이 있습니다.
이를 개선하기 위해서 각 오차의 제곱을 모두 더한 값을 사용하도록 하겠습니다.

이를 수식으로 표현하면, 아래와 같으며 $n$은 갖고 있는 데이터의 개수를 의미하며,
$y^{(i)}$는 실제 값을 의미하고, $H(x^{(i)})$는 예측 값을 의미합니다.

이때 데이터의 개수인 $n$으로 나누면, 오차에 제곱합에 대한 평균을 구할 수 있으며,
이를 평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE)라고 합니다.
이러한 과정은 아래의 수식으로 나타낼 수 있습니다.

위에 계산된 평균 제곱 오차 52.5 값은 $y=13x+1$

최종적으로 정리하면 위와 같이 나타낼 수 있으며, $Cost(W,b)$가 최소가 되게 만드는 $W$와 $b$를 구하면 훈련 데이터를 가장 잘 나타내는 직선입니다.

이러한 이론을 PyTorch로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

W = torch.zeros(1, requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
hypothesis = x_train * W + b

cost = torch.mean((hypothesis - y_train) ** 2)

$W$와 $b$는 초기에 0으로 초기화하여서 사용하여야하며, requires_grad=True는 학습에 사용하겠다고 설정하는 것이며, torch.mean으로 평균 제곱 오차를 손쉽게 구할 수 있습니다.

경사 하강법 (Gradient Descent)

비용 함수(cost function)의 값을 최소로 하는 $W$와 $b$를 찾는 방법을 코드로만 간단히 알아보겠습니다.

W = torch.zeros(1, requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
hypothesis = x_train * W + b

cost = torch.mean((hypothesis - y_train) ** 2)

optimizer = optim.SGD([W,b], lr=0.01)

nb_epochs = 1000
for epoch in range(1, nb_epochs+1):
    optimizer.zero_grad()
	cost.backward()
	optimizer.step()

전체 학습 과정의 Code이며, zero_grad()로 gradient를 0으로 초기화하고, backward()로 비용 함수를 미분하여 gradient를 계산한 다음, step()로 $W$와 $b$를 업데이트합니다.

여기서 zero_grad()가 필요한 이유는 파이토치가 미분을 통해 얻은 기울기를 이전에 계산된 기울기 값에 누적시키는 특징이 있기 때문이며, Code를 통해 예를 들어 설명하겠습니다.

import torch
w = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)

nb_epochs = 20
for epoch in range(nb_epochs + 1):

  z = 2*w

  z.backward()
  print('수식을 w로 미분한 값 : {}'.format(w.grad))

위의 코드를 실행하면,

수식을 w로 미분한 값 : 2.0
수식을 w로 미분한 값 : 4.0
수식을 w로 미분한 값 : 6.0
수식을 w로 미분한 값 : 8.0
수식을 w로 미분한 값 : 10.0
수식을 w로 미분한 값 : 12.0
수식을 w로 미분한 값 : 14.0
수식을 w로 미분한 값 : 16.0
수식을 w로 미분한 값 : 18.0
수식을 w로 미분한 값 : 20.0
수식을 w로 미분한 값 : 22.0
수식을 w로 미분한 값 : 24.0
수식을 w로 미분한 값 : 26.0
수식을 w로 미분한 값 : 28.0
수식을 w로 미분한 값 : 30.0
수식을 w로 미분한 값 : 32.0
수식을 w로 미분한 값 : 34.0
수식을 w로 미분한 값 : 36.0
수식을 w로 미분한 값 : 38.0
수식을 w로 미분한 값 : 40.0
수식을 w로 미분한 값 : 42.0

다음과 같은 결과 값을 얻을 수 있으며, 계속해서 미분 값인 2가 누적되는 것을 볼 수 있습니다.
그렇기 때문에 zero_grad()를 통해 미분값을 계속 0으로 초기화시켜줘야 합니다.

여기서 사용된 옵티마이저(Optimizer)를 통해 최적화된 $W$와 $b$를 찾는 것을 학습이라고 부르며, 다음 페이지에서는 옵티마이저(Optimizer) 알고리즘에 대해 알아보겠습니다.

참조

PyTorch로 시작하는 딥러닝 입문 - https://wikidocs.net/52460
모두를 위한 딥러닝 시즌2 PyTorch - https://github.com/deeplearningzerotoall/PyTorch