개시하다

아키미드는 원주율의 근사치를 계산할 때 265/153을 √3의 근사치로 사용했다고 한다.
위키백과: 원주율의 역사
왜 265/153을 사용했는지 아직은 알 수 없다. 265/153이 √3과 얼마나 비슷한지 조사를 통해 그 필연성을 탐색할 수 있다.

√3≈265/153의 계산 방법

아키미드는 다음과 같은 부등식을 사용하여 단계적으로 √3을 요구했다고 한다.
아키미드 계산 원주율(평성 12년)

a±\frac{b}{2a±1} < \sqrt{a^2+b} < a±\frac{b}{2a}\\

먼저 $\sqrt{3]=\sqrt{2^2-1} 달러에 놓고 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\frac{5}{3} < \sqrt{3} < \frac{7}{4}\qquad①\\

이어서 왼쪽의 분모를 지불한다.

5 <\sqrt{27} < \frac{21}{4} \\

$\sqrt{27}=\sqrt{5^2+2}와 시작하는 부등식으로 계산하면 19/11이 5/3보다 $\sqrt{3}에 가깝다.(상한치로 7/4보다 가까운 26/15를 얻을 수 있다)

\frac{19}{11} <\sqrt{3} < \frac{26}{15}\qquad② \\

그리고 오른쪽 분모까지.×3]=\sqrt{26^2-1}달러는 같은 계산을 통해 19/11보다 더 가까운 265/153을 얻을 수 있다.

\frac{265}{153} <\sqrt{3} < \frac{1351}{780}\qquad③\\

단계적으로 √3의 뜻을 구하다

다소 주제와 동떨어지게 말하지만 ①②③의 단계적 요구 방법에 대해서는 다음과 같은 의문이 있다.
의문 1. 단계적 요구의 이유
의문 2. 단계적인 요구를 통해 √3에 가깝습니까
의문1은 ①②③의 단계에서 사용되는 것으로 오른쪽이나 왼쪽의 분모와 $\sqrt{3}달러만 있기 때문에 단계적으로 찾는 의미가 없다.
의문2는 중간에 있는 √3을 곱한 숫자가 ①②③의 단계에서 커지기 때문에 $\sqrt{n^2×3]\quad$n을 확대하면 $\bigl(a±fracc{b}{2a±1}\bigr)$\bigl(a±frac{b}{2a}&gbigr)$\sqrt{3}달러에 가깝다고 볼 수 있습니다.
실제로 $\bigl(a±fracc{b}{2a±1}\bigr)$n=1,2,3,\cdots,1000달러로 변경하면 $\sqrt{3}달러로 수렴될 것으로 보입니다.
(그림이 그려진 코드에 대한 보충이 완료됨)

※ $\bigl(a±fracc{b}{2a±1}\bigr)$: 녹색 $\sqrt{3}달러: 빨간색

265/153 얼마나 가까운√3

다음은 본론.
265/153은 $\sqrt{3}에 가까운 우수한 값으로 다음과 같이 찾아보았습니다.
(1)분모가 1,2,3달러로 증가,\cdots 100000달러
(2) 분자분모×$\sqrt{3}더 작은 정수 구하기 ($\sqrt{3}더 작은 유리수 구하기)
(3) 분자분모의 소수점 이하에 포함된 10자리 비교 $\sqrt{3} 달러의 소수점 이하에 포함된 10자리
(4) 일치위수 길이의 최소 분모, 분자 구하기

√3과 일치하는 위치를 구한다

import math
def numberDigits(n):
    r3 = str(int(math.sqrt(3)*10**10))
    a3 = str(int(n*10**10))
    for k in range(11):
        if r3[k] == a3[k]: continue
        else: break
    return k

분모가 1,2,3달러로 증가하고\cdots100000달러이며 일치위수가 많은 분모, 분자의 조합

을 구한다.

N = 100000
T = [0 for n in range(11)]

for n in range(2,N):
    h = int(n*math.sqrt(3))
    k = numberDigits(h/n)
    if T[k] == 0: T[k] = n

구한 결과 보이기

for n in T:
    if n > 1:
        h = int(n*math.sqrt(3))
        k = numberDigits(h/n)
        print(str(h) + "/" + str(n) + " : " + str(k))

상술한 집행 결과는 다음과 같다.

265/153은 $\sqrt{3}달러 5자리수와 같은 최초의 조합

2340/1351의 다음 순위가 1위 상승했습니다.

최후

아키미드에 대해 말하자면 265/153은 일정한 정밀도(5위)를 가지고 있다. 나는 이것이 원주율을 계산하는 적당한 크기의 숫자라고 생각한다.
실제로 원주율을 계산할 때 제곱의 계산이 있다(참조: 아키미드와 원주율. 계산량의 측면에서도 적당한 크기라고 상상할 수 있다.

보태다

$n=1,2,3,\cdots,1000달러에 대해 $\bigl(a±\racc{b}{2a±1}\bigr)÷n\quad$\bigl(a±\racc{b}{2a}\bigr)÷n달러

import math
def r3n(a, b, n):
    return [n, (a-b/(2*a-1))/n, (a-b/(2*a))/n]
def r3p(a, b, n):
    return [n, (a+b/(2*a+1))/n, (a+b/(2*a))/n]
N = 1000
T = []
for n in range(1, N):
    a = int(math.sqrt(3*n**2))
    if (3*n**2 - a**2) > ((a+1)**2 - 3*n**2):
        a = a+1
        b = a**2 - 3*n**2
        T.append(r3n(a, b, n)) 
    else:
        b = 3*n**2 - a**2
        T.append(r3n(a, b, n))

√3의 도표 제작 준비

R3 = []
for n in range(1, N):
    R3.append([n, math.sqrt(3)])

그림

$\bigl(±\rac{b}{2a±1}\bigr)$n달러와√3의 도표

그리기

import pandas as pd
df = pd.DataFrame(data=T, columns=['number', 'lower', 'upper'])
df2 = pd.DataFrame(data=R3, columns=['number', 'value'])
plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(df['number'], df['lower'], color = 'green')
plt.plot(df2['number'], df2['value'], color = 'red')
plt.show()