Mathematics for Artificial Intelligence

미분

미분(differentiation)은 변수의 움직임에 따른 함수값의 변화를 측정하기 위한도구

최적화에서 제일 많이 사용하는 기법

최근엔 미분을 손으로 직접 계산하는 대신 컴퓨터가 계산해줄 수 있습니다.

import sympy as sym
from sympy.abc import x

sym.diff(sym.poly(x**2 + 2*x + 3), x)
# Poly(2𝑥+2,𝑥,𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛=ℤ)

미분은 함수 f의 주어진 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기를 구한다.

한 점에서 접선의 기울기를 알면 어느 방향으로 점을 움직여야 함수 값이 증가하는지 / 감소하는지 알 수 있다.

미분 값을 더하면 경사상승법(gradientascent)이라 하며 함수의 극대값의 위치를 구할 때 사용한다.

미분값을 빼면 경사하강법(gradientdescent)이라 하며 함수의 극소값의 위치를 구할 때 사용한다.

경사상승/경사하강 방법은 극값에 도달하면 움직임을 멈춘다.

컴퓨터로 계산할 때 미분이 정확히 0이 되는 것은 불가능하므로 eps 보다 작을 때 종료하는 조건이 필요하다.

var = init
grad = gradient(var)
while(abs(grad > eps):
   var = var - lr * grad # lr은 학습률로서 미분을 통해 업데이트하는 속도를 조절한다
   grad = gradient(var) # 종료 조건이 성립하기 전까지 미분 값을 계속 업데이트한다

def func(val):
    fun = sym.poly(x**2 + 2*x + 3)
    return fun.subs(x, val), fun
    
def func_gradient(fun, val):
    _, function = fun(val)
    diff = sym.diff(function, x)
    return diff.subs(x, val), diff
    
def gradient_descent(fun, init_point, lr_rate = 1e-2, epsilon = 1e-5):
    cnt = 0
    val = init_point
    diff, _ = func_gradient(fun, init_point)
    while np.abs(diff) > epsilon:
        val = val - lr_rate * diff
        diff, _ = func_gradient(fun, val)
        cnt += 1
        
    print(f"함수: {fun(val)[1]}, 연산횟수: {cnt}, 최소점: ({val}, {fun(val)[0]})")
    
gradient_descent(fun = func, init_point = np.random.uniform(-2, 2))
# 함수: Poly(x**2 + 2*x + 3, x, domain='ZZ'), 연산횟수: 624, 최소점: (-0.999995082008834, 2.00000000002419)

벡터의 미분

벡터가 입력인 다변수 함수의 경우 편미분(partialdifferentiation)을 사용한다.

import sympy as sym
from sympy.abc import x, y

sym.diff(sym.poly(x**2 + 2 * x * y + 3) + sym.cos(x + 2 * y) , x)
# 2𝑥+2𝑦−sin(𝑥+2𝑦)

각 변수 별로 편미분 을계산한 그레디언트(gradient) 벡터를 이용하여 경사하강/경사상승법에 사용할 수 있다.

def eval_(fun, val):
    val_x, val_y = val
    fun_eval = fun.subs(x, val_x).subs(y, val_y)
    return fun_eval
    
def func_multi(val):
    x_, y_ = val
    func = sym.poly(x ** 2 + 2 * y ** 2)
    return eval_(func, [x_, y_]), func
    
def func_gradient(fun, val):
    x_, y_ =val
    _, function = fun(val)
    diff_x = sym.diff(function, x)
    diff_y = sym.diff(function, y)
    grad_vec = np.array([eval_(diff_x, [x_, y_]), eval_(diff_y, [x_, y_])], dtype = float)
    return grad_vec, [diff_x, diff_y]
    
def gradient_descent(fun, init_point, lr_rate = 1e-2, epsilon = 1e-5):
    cnt = 0
    val = init_point
    diff, _ = func_gradient(fun, init_point)
    while np.linalg.norm(diff) > epsilon:
        val = val - lr_rate * diff
        diff, _ = func_gradient(fun, val)
        cnt += 1
        
    print(f"함수: {fun(val)[1]}, 연산횟수: {cnt}, 최소점: ({val}, {fun(val)[0]})")
    
pt = [np.random.uniform(-2, 2), np.random.uniform(-2, 2)]
gradient_descent(fun = func_multi, init_point = pt)
# 함수: Poly(x**2 + 2*y**2, x, y, domain='ZZ'), 연산횟수: 529, 최소점: ([ 4.96374105e-06 -5.33676420e-10], 2.46387257323552E-11)

선형회귀 분석

선형회귀의 목적식은 $||y - X\beta ||_{2}$

이제 목적식을 최소화하는 $\beta$

경사하강법 알고리즘에서 학습률과 학습횟수가 중요한 hyperparameter가 된다.

for t in range(T): # 학습 횟수가 너무 적으면 경사하강법이 수렴하지 못할 수 있다
    error = y - X @ beta
    grad = - transpose(X) @ error
    beta = beta - lr * grad

X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])
y = np.dot(X, np.array([1, 2])) + 3

beta_gd = [10.1, 15.1, -6.5] # [1, 2, 3] 이 정답
X_ = np.array([np.append(x, [1]) for x in X]) # intercept 항 추가

for t in range(5000):
    error = y - X_ @ beta_gd
    # error = error / np.linalg.norm(error)
    grad = - np.transpose(X_) @ error
    beta_gd = beta_gd - 0.01 * grad
    
print(beta_gd)
# [1.00000367 1.99999949 2.99999516]